Ветвя́щийся проце́сс — случайный процесс , описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением каких-либо объектов .

История

Термин «ветвящиеся процессы» был предложен А. Н. Колмогоровым в начале 1947 года и в силу своей удачности пришёл в другие языки в виде кальки: англ. branching processes , нем. Verzweigungsprozesse , швед. förgreningsprocesser . По воспоминаниям Б. А. Севастьянова , после появления в США в том же году аналогичных исследований, связанных с разработкой атомного оружия, работы по теории ветвящихся процессов были засекречены на пять лет до хрущёвской оттепели в связи с опасениями, что теория может служить общей моделью неких ядерных цепных реакций , пока академик Я. Б. Зельдович не дал заключение, что работы могут быть опубликованы .

Модели

Первыми рассмотренными моделями был (англ.) ( и марковский ветвящийся процесс . Обобщениями этих двух моделей являются :

Марковский ветвящийся процесс

Рассмотрим физическую систему , состоящую из конечного числа частиц одного или нескольких типов, в которой каждая частица может, независимо от других, превратиться в одну или несколько других частиц или исчезнуть. Состояние системы ( популяция ) в момент времени ${\displaystyle t}$ — вектор количеств частиц каждого типа, выраженных целыми числами. Эволюцию такой системы можно считать стохастической и марковской, а соответствующий процесс — марковским ветвящимся процессом .

Марковскими ветвящимися процессами можно описывать различные явления природы: развитие биологических популяций, прохождение элементарных частиц через вещество, распространение эпидемий и т. п.

Примечания

Литература

• Колмогоров А. Н. , Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады АН СССР : журнал. — М. , 1947. — Т. 56 , вып. 1 . — С. 7-10 .
• Гихман И. И., Скороход А. В. Часть V. Ветвящиеся процессы // Теория случайных процессов. — М. : Наука, 1973. — Т. II.
• Ватутин В. А. , Зубков А. М. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика». — М. : ВИНИТИ, 1985. — Т. 23 . — С. 3–67 .
• Ватутин В. А. , Дьяконова Е. Е. , Критические процессы Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами //Матем. сб., 212:1 (2021), 3–27
• Боровков А. А. Теория вероятностей. — М. : Наука, 1986.