Метод Стёрмера — Верле́ — численный метод решения задачи Коши для дифференциальных уравнений . Часто используется для нахождения траектории материальной точки , движущейся по закону ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}={\vec {a}}({\vec {x}},t)}$ : для вычисления траекторий частиц в моделях молекулярной динамики и в компьютерных играх. Метод Верле более устойчив, чем более простой метод Эйлера , и имеет при этом другие качества, необходимые для моделирования физических процессов в реальном времени.

История и названия

Был использован Исааком Ньютоном в первой книге « Начал » для доказательства второго закона Кеплера .

Назван в честь французского физика Лу Верле , который использовал метод для моделирования динамики молекул, и норвежского астрофизика Карла Стёрмера .

Метод (и эквивалентные ему) называется по-разному в зависимости от области применения :

• метод Стёрмера , метод Энке — в астрономии;
• метод Верле — в молекулярной динамике;
• метод лягушки ( англ. leapfrog )— в области уравнений в частных производных .

Основной алгоритм

Алгоритм Верле используется для вычисления следующего местоположения точки по текущему и прошлому, без использования скорости. Формула получается следующим образом. Записывается разложение в ряд Тейлора вектора ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ местоположения точки в моменты времени ${\displaystyle (t+\Delta t)}$ и ${\displaystyle (t-\Delta t)}$ :

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),}$

где

${\displaystyle {\vec {x}}}$ — координаты точки,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ — скорость,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ — ускорение,

${\displaystyle {\vec {b}}}$ — рывок ( производная ускорения по времени).

Сложив эти 2 уравнения и выразив ${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)}$ , получим

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$

Таким образом, значение радиус-вектора точки может быть вычислено без знания скорости.

Особенности

Основная особенность алгоритма состоит в возможности накладывать на систему точек различные ограничения. Например, можно связать некоторые из них твёрдыми стержнями заданной длины. При этом алгоритм работает следующим образом:

1. Вычисляются новые положения тел (см. формулу выше).
2. Для каждой связи удовлетворяется соответствующее ограничение, то есть расстояние между точками делается таким, каким оно должно быть.
3. Шаг 2 повторяется несколько раз, тем самым все условия удовлетворяются (разрешается система условий).

Данный метод, несмотря на многократное повторение шага 2, очень эффективен.

Свойства

Метод является характерным методом геометрического численного интегрирования и обладает следующими свойствами :

• принадлежит классу одношаговых общих линейных методов;
• имеет 2-й порядок точности;
• является симметричным (самосопряжённым) интегратором;
• является симплектическим интегратором;
• сохраняет фазовый объём для ряда систем;
• сохраняет линейные первые интегралы систем.

Может рассматриваться как:

• метод Нюстрёма 2-го порядка;
• композиция симплектического метода Эйлера с его сопряжённым;
• расщепляющий метод для систем вида ${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}})}$ ;
• разделённый метод Рунге—Кутты для систем ${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}},{\vec {p}})}$ , заданный таблицами
  $${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$$

  

Применение

Популярность у разработчиков компьютерных игр метод получил в 2000 году с выходом игры Hitman: Codename 47 .

Примечания

Ссылки

• на сайте GameDev.ru