Кривизна римановых многообразий численно характеризует отличие римановой метрики многообразия от евклидовой в данной точке.

В случае поверхности кривизна в точке полностью описывается гауссовой кривизной .

В размерностях 3 и выше кривизна не может быть полностью охарактеризована одним числом в заданной точке, вместо этого она определяется как тензор .

Способы выражения кривизны

Тензор кривизны

Кривизна риманова многообразия может быть описана различными способами. Наиболее стандартным является тензор кривизны, заданный через связность Леви-Чивиты (или ковариантное дифференцирование ) ${\displaystyle \nabla }$ и скобку Ли ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ по следующей формуле:

${\displaystyle R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,\;v]}w.}$

Тензор кривизны ${\displaystyle R(u,\;v)}$ представляет собой линейное преобразование касательного пространства к многообразию в выбранной точке.

Если ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ и ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$ , то есть они являются координатными векторами, то ${\displaystyle [u,\;v]=0}$ , и поэтому формула упрощается:

${\displaystyle R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,}$

то есть тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных по векторам.

Линейное преобразование ${\displaystyle w\mapsto R(u,\;v)w}$ также называют преобразованием кривизны .

NB. Есть несколько книг, где тензор кривизны определяется с противоположным знаком.

Симметрии и тождества

Тензор кривизны обладает следующими симметриями:

${\displaystyle R(u,\;v)=-R(v,\;u);}$

${\displaystyle \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;}$

${\displaystyle R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.}$

Последнее тождество было найдено Риччи , но часто его называют первым тождеством Бьянки , потому что оно похоже на тождество Бьянки , описанное .

Эти три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, то есть если какой-то тензор удовлетворяет этим тождествам, то можно найти риманово многообразие с таким тензором кривизны в некоторой точке. Простые расчёты показывают, что такой тензор имеет ${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$ независимых компонент.

Ещё одно полезное тождество вытекает из этих трёх:

${\displaystyle \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .}$

Тождество Бьянки (часто называемое вторым тождеством Бьянки ) содержит ковариантные производные:

${\displaystyle \nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.}$

Вместе с основными симметриями, это тождество даёт полный список симметрий тензора ${\displaystyle \nabla R}$ . Более того, если пара тензоров 4-валентный ${\displaystyle A}$ и 5-валентный ${\displaystyle B}$ удовлетворяют всем этим тождествам, то можно найти риманово многообразие тензором кривизны ${\displaystyle R=A}$ и его ковариантной производной ${\displaystyle \nabla R=B}$ в некоторой точке. Обобщение на старшие производные доказали Ковальски и Бергер.

Секционная кривизна

Секционная кривизна является ещё одним эквивалентным описанием кривизны римановых многообразий с более геометрическим описанием.

Секционная кривизна — это функция ${\displaystyle K(\sigma )}$ , которая зависит от секционного направления ${\displaystyle \sigma }$ в точке ${\displaystyle p}$ (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в ${\displaystyle p}$ ). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке ${\displaystyle p}$ .

Если ${\displaystyle v,\;u}$ — два линейно независимых вектора в ${\displaystyle \sigma }$ , то

${\displaystyle K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},}$ где ${\displaystyle K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle .}$

Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

${\displaystyle 6\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =}$

${\displaystyle [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-}$

${\displaystyle [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].}$

Или в более простой форме, используя частные производные :

${\displaystyle \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.}$

Форма кривизны

Форма связности задаёт альтернативный способ описания кривизны. Главным образом такой способ представления используется для общих векторных расслоений и для главных расслоений, но он прекрасно работает для касательного расслоения со связностью Леви-Чивита .

Кривизна в ${\displaystyle n}$ -мерном римановом многообразии задаётся антисимметричной ${\displaystyle n\times n}$ -матрицей ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}}$ из 2-форм (или эквивалентно, 2-формой со значениями в ${\displaystyle \operatorname {so} (n)}$ , то есть в алгебре Ли из ортогональной группы ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$ , являющейся структурной группой касательного расслоения риманова многообразия).

Пусть ${\displaystyle e_{i}}$ будет локальным ортонормированным репером. Форма связности определяется антисимметричной матрицей из 1-форм ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i}}$ , следующим тождеством

${\displaystyle \omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},\;e_{k}\rangle .}$

Тогда форма кривизны ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i}}$ определяется как

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega .}$

Следующее равенство описывает связь между формой кривизны и тензором кривизны:

${\displaystyle R(u,\;v)w=\Omega (u\wedge v)w.}$

Этот подход автоматически включает все симметрии тензора кривизны, за исключением первого тождества Бьянки , которое принимает вид

${\displaystyle \Omega \wedge \theta =0.}$

где ${\displaystyle \theta =\theta ^{i}}$ — это ${\displaystyle n}$ -вектор 1-форм, определённых как ${\displaystyle \theta ^{i}(v)=\langle e_{i},\;v\rangle }$ .

Второе тождество Бьянки принимает вид

${\displaystyle D\Omega =0.}$

${\displaystyle D}$ обозначает внешнюю ковариантную производную.

Форма кривизны обобщается на главное расслоение ${\displaystyle E}$ со структурной группой Ли ${\displaystyle G}$ следующим образом:

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ],}$

где ${\displaystyle \omega }$ — форма связности на ${\displaystyle E}$ , а ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — касательная алгебра Ли группы ${\displaystyle G}$

Форма кривизны зануляется тогда и только тогда, когда связность локально плоска.

Оператор кривизны

Иногда удобно думать о кривизне, как об операторе ${\displaystyle Q}$ на касательных бивекторах (элементах ${\displaystyle \Lambda ^{2}(T)}$ ), которые однозначно определяются следующим тождеством:

${\displaystyle \langle Q(u\wedge v),\;w\wedge z\rangle =\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle .}$

Это возможно из-за симметрий тензора кривизны (а именно, антисимметрии первой и последней пары индексов, и блок-симметрии этих пар).

Другие кривизны

В общем случае следующие тензоры и функции не описывают тензор кривизны полностью, однако они играют важную роль.

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является функцией на римановом многообразии, как правило, обозначается ${\displaystyle \operatorname {Sc} }$ .

Это полный след тензора кривизны. Для ортонормированного базиса ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в касательное пространство в ${\displaystyle p}$ мы имеем

${\displaystyle \operatorname {Sc} =\sum _{i,\;j}\langle R(e_{i},\;e_{j})e_{j},\;e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle \operatorname {Ric} (e_{i}),\;e_{i}\rangle ,}$

где ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ обозначает тензор Риччи . Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса.

Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не описывает тензор кривизны полностью.

Кривизна Риччи

Кривизна Риччи является линейным оператором на касательном пространстве в точке, обычно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ . Для ортонормированного базиса ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в касательном пространстве в точке ${\displaystyle p}$ он определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ric} (u)=\sum _{i}R(u,\;e_{i})e_{i}.}$

Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. В размерности четыре или более кривизна Риччи не описывает тензор кривизны полностью.

Явные выражения для тензора Риччи через связности Леви-Чивита даны в статье о символах Кристоффеля .

Тензор Вейля

Тензор Вейля ${\displaystyle W}$ имеет те же симметрии, что и тензор кривизны, плюс одну дополнительную: след (то же, что кривизна Риччи) равен 0.

В размерностях 2 и 3 тензор Вейля равен нулю, но если размерность > 3, тогда он может отличаться от нуля.

• Тензор кривизны может быть разложена на части: одна будет зависеть от кривизны Риччи, другая — от тензора Вейля.
• Конформная смена метрики не меняет тензор Вейля.
• Для многообразия постоянной кривизны тензор Вейля равен нулю.
  • Кроме того, ${\displaystyle W=0}$ , тогда и только тогда, когда метрика является локально конформной евклидовой.

Разложение Риччи

Вместе тензор Риччи и тензор Вейля определяют тензор кривизны полностью.

Вычисление кривизны

• Для расчёта кривизны гиперповерхностей и подмногообразий см. вторая фундаментальная форма ,
• Для расчёта кривизны в координатах см. ковариантные производные ,
• Для расчёта кривизны методом подвижного репера см. Форма кривизны .
• Уравнение Якоби может быть полезно, если известно поведение геодезических .

Примечания

Ссылки

• Кобаяси Ш. , Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии / пер. с англ. Л. В. Сабинина . — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы , 1981. — Т. 1. — 344 с.