Га́уссовы це́лые чи́сла
(
гауссовы числа
,
целые комплексные числа
) — это
комплексные числа
, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа
.
Примеры:
.
Впервые введены
Гауссом
в монографии «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832)
. Множество гауссовых целых чисел принято обозначать
отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых чисел
добавлением в него
мнимой единицы
и комбинаций её с целыми числами. Свойства гауссовых чисел похожи на свойства обычных целых чисел, однако имеются и существенные отличия.
Отсюда следует
, что обратимыми элементами кольца (
делителями единицы
) являются те элементы, у которых норма равна 1, то есть
.
Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность —
отношение эквивалентности
. Пример: гауссовы числа
и
ассоциированы, поскольку:
.
У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним. Нормы всех четырёх ассоциированных между собой чисел совпадают.
Теория делимости
Деление нацело
Деление нацело гауссовых чисел определяется обычным образом
:
Говорят, что гауссово число
делится (нацело) на гауссово число
, если существует третье гауссово число
такое, что
. Обозначение:
.
Произношение: один из трёх равносильных вариантов.
Все гауссовы числа делятся на делители единицы, поэтому любое гауссово число, отличное от делителей единицы, имеет как минимум 8 делителей: 4 делителя единицы и 4 их произведения на само это число. Эти делители называются
тривиальными
.
Деление нацело в
по своим свойствам похоже на аналогичное деление целых чисел. Некоторые специфические для гауссовых чисел особенности
:
Если гауссово число
делится нацело на обычное целое число, то на это целое число делятся как вещественная, так и мнимая часть
.
Если
и
, то эти числа ассоциированы.
Если
, то любое из 3 чисел, ассоциированных с
, делится на любое из 3 чисел, ассоциированных с
.
Если
делится на
, то сопряжённое к делимому число
делится на сопряжённое к делителю
.
Все делители гауссова числа
являются также делителями его нормы
.
Норма гауссова числа чётна тогда и только тогда, когда это число делится на
.
Если
, то и норма делимого, в силу мультипликативности, делится нацело на норму делителя. При этом:
Геометрическое представление делимости
У каждого гауссова числа
есть 4 кратных с той же нормой (и, соответственно, тем же модулем) — это само
и ассоциированные с ним 3 числа, которые получаются последовательным умножением
на
:
Но умножение на
означает на
комплексной плоскости
поворот
радиус-вектора
числа на 90° против часовой стрелки, причём модуль результата будет тем же. Таким образом, все 4 числа образуют равносторонний крест (выделен красным на рисунке), центр и вершины которого кратны
. Последовательно сдвигая этот крест во все стороны на одну из 4 величин, ассоциированных с
, мы получаем на всей плоскости квадратную решётку, все узлы которой (вершины квадратов) кратны
. Обратно, любое кратное
совпадает с одним из узлов решётки. Ширина каждого квадрата решётки равна
. Далее для краткости эта решётка будет называться «решёткой кратных» (или, если требуется уточнение, «
-решёткой кратных
»).
Пример: на рисунке одним из узлов решётки является число
, кратное
:
.
Простые гауссовы числа
Простое гауссово число
— это ненулевое число, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется
составным
. При этом делители единицы, подобно натуральной единице, не считаются ни простыми, ни составными числами
.
Если простое гауссово число является делителем произведения гауссовых чисел, то оно является делителем по крайней мере одного из сомножителей.
Норма любого простого гауссова числа, кроме ассоциированных с
, всегда нечётна и поэтому имеет вид
.
Натуральное
простое число
может не быть гауссовым простым числом. Например, числа 2 и 5 в
уже не простые:
Разложение гауссовых чисел с нормой от 2 до 100 на простые гауссовы множители см. в таблице
Факторизация гауссовых чисел
.
Взаимно простые числа
Если гауссово число
является делителем для двух гауссовых чисел
и
, оно называется их общим делителем. Множество общих делителей двух чисел всегда содержит 4 делителя единицы; если других общих делителей нет, эти числа называются взаимно простыми
.
Отметим, что если нормы гауссовых чисел
взаимно просты как целые числа, то и сами числа
взаимно просты как гауссовы числа. Обратное неверно: нормы взаимно простых гауссовых чисел могут иметь общие делители — например,
и
взаимно просты, но их нормы совпадают и поэтому не взаимно просты.
Укажем два свойства, аналогичные свойствам целых чисел.
Если каждое из двух гауссовых чисел
взаимно просто с гауссовым числом
то и их произведение
тоже взаимно просто
с
.
Если
и при этом
взаимно просто с
, то
.
Критерий Гаусса
Гаусс указал определяющие признаки простого числа в
.
Гауссово число
является простым тогда и только тогда, когда:
либо одно из чисел
нулевое, а другое — целое простое число вида
;
либо
оба не нули и норма
— простое натуральное число.
Примеры простых гауссовых чисел:
к первой части критерия:
;
ко второй части критерия:
.
Некоторые источники для большей ясности разделяют вторую часть критерия на две
:
Числа, ассоциированные с
. Их норма равна 2.
Числа, норма которых есть простое натуральное число вида
.
Сам Гаусс такого разделения не делал
.
Следствия:
Никакое простое натуральное число вида
не может быть простым гауссовым числом. Простые натуральные числа вида
являются и простыми гауссовыми числами.
Норма простого гауссова числа является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа
.
Простое натуральное число вида
можно представить как произведение сопряжённых простых гауссовых чисел
или, что то же самое, как сумму квадратов
. Этот факт известен как
Теорема Ферма — Эйлера
. Именно при исследовании данной темы, а также теории биквадратичных вычетов, Гаусс с успехом применил целые комплексные числа. Обратно, если простое натуральное число представимо в виде суммы натуральных квадратов, то в
оно составное и разлагается на два сопряжённых гауссовых простых
.
Каждое простое гауссово число является делителем одного и только одного простого натурального числа
. Это значит, что разлагая натуральные простые на гауссовы множители, получаются все гауссовы простые.
Разложение на простые множители
В
имеет место аналог
основной теоремы арифметики
: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей
.
Пример:
. Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы:
так что однозначность не нарушается.
Чтобы практически разложить гауссово число
на простые множители, можно использовать приведённое выше свойство: все делители гауссова числа являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к
числу.
Таким образом, начать следует с разложения нормы числа
на простые натуральные множители
.
Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как
. Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые
делится нацело.
Кроме 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида
является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму
, но и само
. Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число
. Отсюда вытекает, что множитель вида
входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого
— в степени, вдвое меньшей.
Множитель вида
можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.
Например, для разложения на простые множители
(норма — 225) выделяются простые натуральные множители:
. По предыдущему,
. При этом
делится только на
и не делится на
. Частное от деления
на
равно
поэтому окончательный результат:
.
Теория сравнений
Сравнения по гауссовому модулю
Понятие
сравнения по модулю
определяется в
аналогично тому, как это делается для целых чисел
:
Пусть
— некоторое гауссово число. Два гауссовых числа
называются сравнимыми по модулю
, если разность
делится (нацело) на
. Запись:
.
Свойства сравнений в
в основном такие же, как у целых чисел. Отношение сравнимости есть
отношение эквивалентности
, поэтому
разбивается на непересекающиеся
классы вычетов
— каждый такой класс содержит все сравнимые друг с другом (по заданному модулю) гауссовы числа. Для классов, как в случае целых чисел, можно определить сложение и умножение, так что получается
кольцо вычетов
по гауссову модулю.
Пример. Возьмём в качестве модуля сравнения
. Тогда
разбивается на два класса вычетов: числа
, у которых
одинаковой чётности, попадут в один класс (содержащий кратные для модуля), а числа с разной чётностью
— в другой.
У гауссова сравнения имеются некоторые особенности. Например, если для целых чисел по модулю 3 существуют 3 класса вычетов с представителями
то для гауссовых чисел по тому же модулю количество классов значительно больше. Их представители:
Как обнаружил Гаусс, кольцо вычетов по модулю
содержит
элементов
. Этот факт вынуждает модифицировать некоторые классические теоремы. Например,
малая теорема Ферма
для целых чисел утверждает, что
делится на
для любого простого
и натурального
. Для гауссовых чисел это неверно, даже если ограничиться натуральными значениями
; например, для целых чисел
всегда делится на 3, а для гауссовых
, и это значение на 3 не делится. Модифицированный аналог малой теоремы Ферма формулируется следующим образом
:
Для простого гауссова числа
и любого гауссова числа
делится на
.
На том же примере с
результат:
— делится на 3.
Назовём класс вычетов по модулю
содержащий число
обратимым
, если сравнение
имеет решение относительно
. Класс обратим тогда и только тогда, когда гауссовы числа
и
взаимно просты
. В частности, если модуль сравнений
— гауссово простое число, то каждый ненулевой класс вычетов имеет обратный элемент, а это значит, что классы вычетов по простому модулю в
, как и в
образуют
поле
.
Функция Эйлера для гауссовых чисел
Введём аналог
функции Эйлера
для гауссовых чисел. Определение для целых чисел не годится хотя бы потому, что содержащееся в нём выражение «от
до
» не имеет смысла для комплексных чисел. Новое определение
:
Функция Эйлера
для гауссова числа
определяется как число обратимых классов вычетов по модулю
.
Определённая таким образом функция, как и её прототип для целых чисел,
мультипликативна
, поэтому достаточно знать её значения для простых чисел и их натуральных степеней. Если
— простое гауссово число, то
:
Пример:
.
Теперь можно обобщить приведённую в предыдущем разделе малую теорему Ферма на случай произвольного (не обязательно простого) модуля сравнения, то есть привести аналог
теоремы Эйлера
:
Если гауссово число
взаимно просто с модулем
, то:
Геометрическое представление сравнения по модулю
Рассмотрим для примера сравнения по модулю
. Как сказано в разделе о геометрическом представлении делимости, можно разбить комплексную плоскость на квадраты так, что узлы этой решётки (вершины квадратов) представляют всевозможные комплексные кратные
. Тогда, по определению, числа сравнимы по модулю
, если их разность совпадает с одним из узлов решётки кратных.
Каждый квадрат решётки получается из любого другого квадрата сдвигом (переносом) на величину, кратную
поэтому разность любой точки квадрата и результата её сдвига тоже кратна
. Отсюда следует окончательный вывод
:
Гауссовы числа сравнимы по модулю
тогда и только тогда, когда они занимают одно и то же относительное положение в своих квадратах решётки кратных.
Например, сравнимы все центры квадратов, или все середины их соответствующих сторон и т. п.
Деление с остатком
Определение
В кольце
можно определить деление с остатком (на любое ненулевое гауссово число), потребовав, чтобы норма остатка была меньше нормы делителя
:
Любое гауссово число
можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число
, то есть представить в виде:
где частное
и остаток
— гауссовы числа, причём
.
Несложно показать, что в качестве частного от деления с остатком можно взять гауссово число, ближайшее к частному от обычного деления комплексных чисел
.
Необходимо отметить, что условия «норма остатка меньше нормы делителя» недостаточно для того, чтобы гарантировать однозначность остатка от деления, поэтому в
остаток неоднозначен. Например,
можно разделить на
тремя способами:
Можно гарантировать только то, что все остатки попадают в один класс вычетов по модулю делителя. Впрочем, похожая ситуация имеет место и для обычных целых чисел — например, разделить с остатком 8 на 3 можно двумя способами:
или
(оба остатка по модулю меньше делителя) поэтому в арифметике целых чисел введено дополнительное условие, обеспечивающее однозначность операции: остаток должен быть неотрицательным.
Пример
. Для деления с остатком
на
вначале находится частное от обычного комплексного деления:
Ближайшее к результату гауссово число есть
тогда остаток равен
. В итоге:
Из определения деления с остатком
на
следует, что
, то есть модуль остатка есть расстояние между комплексными числами
и
. Другими словами,
есть расстояние от делимого до одного из узлов
-решётки
кратных. Требование «норма остатка меньше нормы делителя» эквивалентно условию
. Отсюда вытекает:
Деление с остатком
на
имеет столько решений, сколько узлов
-решётки
кратных находится от делимого на расстоянии меньше
.
В вышеприведённом примере деления
на
ближайшими к делимому являются кратные делителя, образующие вершины квадрата решётки, содержащего делимое:
Все они находятся от делимого на расстоянии меньше, чем
. Четвёртая вершина квадрата
удалена от делимого больше чем на
. Поэтому данная задача деления с остатком имеет три решения.
В общем случае, проведя из вершин квадрата
-решётки кратных дуги радиусом
мы получим фигуру, показанную на рисунке. Если делимое находится в центральной области (красная зона), оно удалено от всех вершин менее чем на
и деление с остатком может быть выполнено четырьмя способами. Если делимое находится в одном из «лепестков» (синяя зона), то одна из вершин отпадает, и число решений равно трём. Для белой зоны получаем два решения. Наконец, если делимое совпадает с одной из вершин, то остаток равен нулю, и решение единственно.
Наибольший общий делитель
Кольцо гауссовых чисел является
евклидовым
, и в нём всегда можно определить
наибольший общий делитель
, определённый однозначно с точностью до делителей единицы
.
Наибольшим общим делителем
НОД
для гауссовых чисел
и
, хотя бы одно из которых ненулевое, называется их общий делитель, который делится на любой другой общий делитель
и
.
Эквивалентное определение: НОД
есть тот общий делитель
, у которого норма максимальна
.
Свойства НОД
Если известен некоторый НОД, то любое из трёх чисел, ассоциированных с ним, также будет НОД. В частности. если один из НОД — делитель единицы, то такими же будут и остальные три НОД.
Гауссовы числа взаимно просты тогда и только тогда, когда их НОД есть делитель единицы.
Пусть
— гауссовы числа, и хотя бы одно из них не нуль. Тогда существуют такие гауссовы числа
, что выполняется соотношение:
НОД
Другими словами, наибольший общий делитель двух гауссовых чисел можно всегда представить как
линейную комбинацию
этих чисел с гауссовыми коэффициентами.
Следствие соотношения Безу
: если гауссовы числа
взаимно просты, то уравнение
относительно
имеет решение в
. Вместо 1 в приведённом уравнении может стоять любой другой делитель единицы, теорема при этом останется верной.
Алгоритм Евклида и практическое вычисление НОД
Для определения НОД в
удобно использовать
алгоритм Евклида
, вполне аналогичный применяемому для целых чисел. НОД получается в этой схеме как последний ненулевой остаток
. Алгоритм Евклида можно также использовать для нахождения коэффициентов
в соотношении Безу
.
Пример 1. Найдём НОД для
и
.
Шаг 1:
(разделили с остатком первое число на второе)
Шаг 2:
(разделили с остатком предыдущий делитель на остаток предыдущего шага)
Шаг 3:
(то же действие)
Шаг 4:
(то же действие, деление выполнилось нацело)
Отметим, что на каждом шаге норма остатка монотонно уменьшается. Последний ненулевой остаток равен
, это делитель единицы, поэтому заключаем, что исследуемые числа взаимно просты.
Пример 2. Найдём НОД для
и
.
Шаг 1:
Шаг 2:
Шаг 3:
(деление выполнилось нацело)
Последний ненулевой остаток равен
, это и есть искомый НОД. Последовательно подставляя вместо левых частей равенств правые (начиная с предпоследнего равенства, снизу вверх), получается соотношение Безу для НОД:
Некоторые приложения
Гаусс использовал открытую им алгебраическую структуру для глубокого исследования биквадратичных вычетов. Можно указать и другие области успешного применения гауссовых чисел
. Примечательно, что значительная их часть относится к теории не комплексных, а натуральных чисел.
Разложение натуральных чисел на сумму двух квадратов
Из критерия Гаусса
вытекает, что простое натуральное число вида
можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, причём единственным способом. Пример:
.
Разложение натуральных чисел другого вида не всегда возможно — например,
и другие числа вида
нельзя представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Составные числа могут также иметь более одного варианта разложения, например
:
. Общая теорема: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда в его
каноническом разложении
все простые множители вида
входят в чётных степенях
.
Пример:
нельзя представить в виде суммы квадратов, потому что число 3 (как и 7) входит в него с нечётной степенью. Но
представить можно:
.
Подсчёт числа представлений в виде суммы двух квадратов
Число представлений
натурального числа
в виде суммы квадратов (или, что то же самое, число гауссовых чисел с нормой
) можно определить следующим образом
. Разложим
на простые натуральные множители:
Здесь
— множители вида
а
— множители вида
. Тогда возможны 3 случая.
Если хотя бы один показатель степени
нечётный, число
не может быть представлено в виде суммы квадратов.
Пусть все
чётные. Окончательная формула зависит от чётности
. Если все они тоже чётные, то формула имеет вид:
Если не все
чётные, то формула немного отличается:
Общее решение уравнения зависит от двух целых параметров
:
.
Для генерации пифагоровых троек можно использовать такой приём. Пусть
— произвольное гауссово число, у которого обе компоненты
ненулевые. Возведя это число в квадрат, получается некоторое другое гауссово число
. Тогда тройка
будет пифагоровой
.
Пример: для исходного числа
получается пифагорова тройка
.
Решение диофантовых уравнений
Решение многих
диофантовых уравнений
удаётся найти, если привлечь аппарат гауссовых чисел. Например, для уравнения
несложные преобразования дают два типа целых взаимно простых решений
, зависящих от целых параметров
:
В 1850 году Виктор Лебег, используя гауссовы числа, исследовал уравнение
и доказал его неразрешимость в натуральных числах. Другими словами, среди натуральных чисел вида
нет ни одного полного куба или иной степени выше второй
.
Нерешённые проблемы
Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы
. В эквивалентной формулировке эта тема известна как «
проблема круга Гаусса
» в
геометрии чисел
.
Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие
.
Вопрос, известный под названием «
ров Гаусса
»: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена
.
Вариации и обобщения
Ещё одним исторически важным евклидовым кольцом, похожим по свойствам на целые числа, стали «
целые числа Эйзенштейна
».
Гауссовы рациональные числа, обозначаемые
— это комплексные числа вида
, где
—
рациональные числа
. Это множество замкнуто относительно всех 4 арифметических операций, включая деление, и поэтому является
полем
, расширяющим кольцо гауссовых чисел.
История
В 1820-х годах
Карл Фридрих Гаусс
исследовал
биквадратичный закон взаимности
, результатом стала монография «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832). Именно в этом труде целые комплексные числа доказали свою полезность для решения задач
теории чисел
, хотя формулировка этих задач никак не связана с комплексными числами. Гаусс писал, что «естественный источник общей теории следует искать в расширении области арифметики»
.
В книге Гаусса было показано, что новые числа по своим свойствам во многом напоминают обычные целые числа. Автор описал четыре
делителя единицы
, определил отношение ассоциированности, понятие простого числа, дал критерий простоты и доказал аналоги
основной теоремы арифметики
,
малой теоремы Ферма
. Далее Гаусс подробно рассмотрел вычеты по комплексному модулю,
индексы и первообразные корни
. Главным достижением построенной теории стал биквадратичный закон взаимности, который Гаусс обещал доказать в следующем томе; этот том так и не был опубликован, но в рукописях Гаусса была обнаружена подробная схема строгого доказательства
.
Кольцо гауссовых целых чисел было одним из первых примеров алгебраической структуры с непривычными свойствами. Со временем было открыто большое количество структур такого типа, а в конце XIX века появилась
абстрактная алгебра
, изучающая алгебраические свойства отдельно от объектов-носителей этих свойств.
Примечания
↑
.
, с. 655—754.
↑
, с. 88—92.
, с. 146.
, с. 23.
, с. 27—28.
↑
, с. 147—149.
↑
, с. 29.
, с. 32.
, с. 150.
↑
, с. 155.
, с. 156.
, с. 41, 44.
, с. 10.
, с. 698.
, с. 158.
↑
, Глава 9.
, с. 33—34.
, Глава 6.
↑
, Глава 7.
, Глава 3.
, с. 30—31.
, с. 35—36.
, Глава 4.
↑
, Глава 5.
, с. 153—155.
↑
, Глава 8.
, с. 164—166.
, с. 162—163.
Conway J. H., Sloane N. J. A.
Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — P. 106.
Ribenboim, Paulo.
The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3rd ed. — New York: Springer, 1996. —
ISBN 0-387-94457-5
.
Guy Richard K.
Unsolved problems in number theory. — 3rd ed. — New York: Springer, 2004. — P. 55—57. —
ISBN 978-0-387-20860-2
.
, с. 189.
Литература
Айерлэнд К., Роузен М.
Классическое введение в современную теорию чисел. —
М.
: Мир, 1987. — 416 с.
Алфутова Н. Б, Устинов А. В.
Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. — 3-е изд., испр. и доп. —
М.
: МЦНМО, 2009. — 336 с. —
ISBN 978-5-94057-550-4
.
Гаусс К. Ф.
Труды по теории чисел. —
М.
: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 695—754.
Гауссово число
// Математическая энциклопедия (в 5 томах). —
М.
:
Советская Энциклопедия
, 1977. — Т. 1.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. —
М.
: Наука, 1978. — Т. I.
Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.
Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. —
М.
: Учпедгиз, 1939. — 187 с.
Окунев Л. Я.
Целые комплексные числа. —
М.
: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
Сендеров В., Спивак А.
//
Квант
. — 1999. —
№ 3
. —
С. 14—22
.
Hardy G. H., Wright E. M.
An introduction to the theory of numbers
(англ.)
. — 4th edition. — Oxford.: Oxford University Press, 1968. — 421 p.
Ссылки
(англ.)
. Дата обращения: 11 сентября 2013. Архивировано из
14 июня 2006 года.
Butler, Lee A.
(англ.)
. Дата обращения: 16 января 2017.
Conrad, Keith.
(англ.)
. Дата обращения: 11 сентября 2013.