Алгебра над полем — это векторное пространство , снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом , причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом , которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна ; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ , снабжённое операцией ${\displaystyle A\times A\to A}$ , называемой умножением. Тогда ${\displaystyle A}$ является алгеброй над ${\displaystyle K}$ , если для любых ${\displaystyle x,y,z\in A,\;a,b\in K}$ выполняются следующие свойства:

• ${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}$
• ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$
• ${\displaystyle (ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)}$ .

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной . В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем ${\displaystyle K}$ — это кольцо с единицей ${\displaystyle A}$ , снабжённое гомоморфизмом колец с единицей ${\displaystyle f:K\to A}$ , таким, что ${\displaystyle f(K)}$ принадлежит центру кольца ${\displaystyle A}$ (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что ${\displaystyle A}$ является векторным пространством над ${\displaystyle K}$ со следующей операцией умножения на скаляр ${\displaystyle \alpha \in K}$ : ${\displaystyle \alpha x=f(\alpha )\cdot x}$ .

Связанные определения

• Гомоморфизм ${\displaystyle K}$ -алгебр — это ${\displaystyle K}$ -линейное отображение, такое что ${\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)}$ для любых ${\displaystyle a,b}$ из области определения.
• Подалгебра алгебры над полем ${\displaystyle K}$ — это линейное подпространство , такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй ${\displaystyle U}$ линейной алгебры ${\displaystyle R}$ над полем ${\displaystyle P}$ называется её подмножество если оно является подкольцом кольца ${\displaystyle R}$ и подпространством линейного пространства ${\displaystyle R}$ .
  • Элемент алгебры называется алгебраическим , если он содержится в конечномерной подалгебре.
  • Алгебра называется алгебраической , если все её элементы алгебраические.

• Левый идеал ${\displaystyle K}$ -алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
• Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle b}$ уравнения ${\displaystyle ax=b}$ и ${\displaystyle ya=b}$ разрешимы . В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом .
• Центр алгебры ${\displaystyle A}$ — это множество элементов ${\displaystyle a\in A}$ , таких что ${\displaystyle xa=ax}$ для любого элемента ${\displaystyle x\in A}$ .

Примеры

Ассоциативные алгебры

• Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами .
• Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
• Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля , является алгеброй с делением. Действительно, умножение на ${\displaystyle x}$ слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как ${\displaystyle x}$ не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента ${\displaystyle b}$ , то есть такой элемент ${\displaystyle y}$ , что ${\displaystyle xy}$ = ${\displaystyle b}$ . Второе условие доказывается аналогично.
• Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов ${\displaystyle K[x]}$ .
• Алгебры функций , такие как ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -алгебра вещественнозначных непрерывных функций , определённых на интервале (0, 1), или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -алгебра голоморфных функций , определённых на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости.
• Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве .

Неассоциативные алгебры

• Алгебры Кэли , или октавы .
• Общие алгебры Ли .
• Йордановы алгебры .
• Альтернативные алгебры .

Структурные коэффициенты

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем ${\displaystyle K}$ достаточно указать её размерность ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n^{3}}$ структурных коэффициентов ${\displaystyle c_{i,j,k}}$ , являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

где ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots e_{n})}$ — некоторый базис ${\displaystyle A}$ . Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если ${\displaystyle K}$ — только коммутативное кольцо , а не поле, это описание возможно, только когда алгебра ${\displaystyle A}$ является свободным модулем .

См. также

• Дифференциальная алгебра
• Тензорное произведение алгебр

Примечания

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .