В математике кватернионом Гурвица (или целым числом Гурвица ) называется кватернион , компоненты которого либо все целые , либо все полуцелые (половины нечётных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица

${\displaystyle H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ или }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

Можно показать, что H замкнуто относительно умножения и сложения, что делает его подкольцом кольца всех кватернионов.

Кватернион Липшица (или Целое Липшица ) — это кватернион, все компоненты которого целые числа . Множество всех кватернионов Липшица

${\displaystyle L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}}$

формирует подкольцо в кольце кватернионов Гурвица H .

В качестве группы H является свободной абелевой группой с образующими {½(1+ i + j + k ), i , j , k }. Она, таким образом, образует решетку в R ⁴ . Эта решетка известна как решётка F ₄ , поскольку она является полупростой алгебры Ли F ₄ . Кватернион Липшица L образует подрешётку в H .

Группа единиц в L образует Q = {±1, ± i , ± j , ± k }. Группа единиц в H не является абелевой и образует группу 24-го порядка, известную как бинарная группа тетраэдра . Эта группа включает в себя 8 элементов Q и 16 кватернионов {½(±1± i ± j ± k )}, где знаки берутся в любой комбинации. Кватернионная группа является нормальной подгруппой бинарной группы тетраэдра U ( H ). Элементы U ( H ), имея норму 1, образуют вершины 24-гранника , вписанного в 3-сферу .

Норма кватерниона Гурвица, заданного формулой ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$ , всегда представляет собой целое число. По теореме Лагранжа любое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырёх (или менее) квадратов целых чисел. Таким образом, любое неотрицательное целое число является нормой некоего кватерниона Липшица (или Гурвица). Целое число Гурвица является простым элементом в том и только в том случае, когда его норма — простое число .

См. также

• Гауссовы целые числа
• Целые числа Эйзенштейна
• Группа Ли F ₄
• Решетка E ₈

Ссылки

• Конвей Д. Х. , Гурвицевы целые кватернионы // : об их геометрии, арифметике и симметриях / пер. — М. : МЦНМО , 2009. — С. 71—80. — 184 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-517-7