Interested Article - Внешняя алгебра
- 2021-10-17
- 1
Внешняя алгебра , или алгебра Грассмана , — ассоциативная алгебра , используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.
Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается . Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.
Определение и связанные понятия
Внешней алгеброй векторного пространства над полем называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу , порождённому элементами вида :
- .
Если характеристика поля , то идеал в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида .
Умножение ∧ в такой алгебре при этом называют внешним произведением . По построению оно антикоммутативно:
k -й внешней степенью пространства называют векторное пространство , порождённое элементами вида
причём и = { 0 } при k > n .
Если и { e 1 , …, e n } — базис , то базисом является множество
Тогда
причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку : если и , то
Свойства
-
Элементы пространства
называются
r
-векторами. В случае, когда
характеристика
основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические
r
раз контравариантные
тензоры
над
с операцией
антисимметризированного (альтернированного)
тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с
тензорным произведением
.
-
В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
-
Замечание:
Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
-
В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- Внешний квадрат произвольного вектора нулевой:
-
- Для r -векторов при чётном r это неверно. Например
- Линейно независимые системы из -векторов и из порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда -векторы и пропорциональны.
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М. : Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
- Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М. : Физматлит, 2009.
- Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М. : Мир, 1984.
- Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М. : Наука , 1977.
См. также
|
Это
заготовка статьи
по
математике
. Помогите Википедии, дополнив её.
|
- 2021-10-17
- 1