Конгруэнцией в общей алгебре называют отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа , кольцо или векторное пространство ), согласующееся с алгебраическими операциями , определёнными на указанной структуре. Согласованность означает, что выполнение операций над эквивалентными (относительно конгруэнции) элементами структуры даст также эквивалентные элементы. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре : всякая конгруэнция порождает соответствующую фактор-структуру со сходными операциями, носителем которой будет фактормножество , чьи элементы — классы эквивалентности исходной структуры по отношению к конгруэнции.

Основным примером конгруэнции является отношение сравнимости по модулю на множестве целых чисел . При заданном натуральном n (называемом модулем ) говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю n , если разность a – b делится на n или, что равносильно , a и b дают при делении на n равные остатки . Если числа a и b сравнимы по некоторому модулю n это обозначается a ≡ b (mod n ). Например, числа 37 и 57 сравнимы по модулю 10 (37 ≡ 57 (mod 10)), поскольку 37 – 57 = −20 делится на 10 (это эквивалентно тому, что 37 и 57 дают при делении на 10 один и тот же остаток 7). Свойства сравнимости по модулю показывают, что, во-первых, сравнимость — отношение эквивалентности , и, во-вторых, что оно согласовано как со сложением так и с умножением целых чисел: если a ₁ ≡ b ₁ (mod n ) и a ₂ ≡ b ₂ (mod n ), то a ₁ + a ₂ ≡ b ₁ + b ₂ (mod n ) и a ₁ · a ₂ ≡ b ₁ · b ₂ (mod n ) для любых целых a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ . Это значит, что над соответствующими классами эквивалентности — классами вычетов (по модулю n ) — также выполнимы операции сложения и умножения, составляющие так называемую модульную арифметику : [ a ] _n + [ b ] _n = [ a + b ] _n , [ a ] _n · [ b ] _n = [ a · b ] _n ([ x ] _n — класс целых чисел, сравнимых с числом x по модулю n ). С точки зрения абстрактной алгебры это будет звучать так: сравнимость по модулю n есть конгруэнция на кольце целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , порождающая фактор-кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} {\mathord {/}}n\mathbb {Z} }$ — конечное кольцо вычетов по модулю n , — на котором выполняются операции модульной арифметики.

Определение

Отношение ${\displaystyle \theta (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ на множестве ${\displaystyle A}$ называется стабильным относительно ${\displaystyle n}$ -арной операции ${\displaystyle f}$ , определённой на этом множестве, если для любых элементов ${\displaystyle a_{i1},\ldots ,a_{im}}$ ( ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ) множества ${\displaystyle A}$ из истинности отношений ${\displaystyle \theta (a_{i1},\ldots ,a_{im})}$ ( ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ) вытекает истинность отношения ${\displaystyle \theta (f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$ .

Отношение ${\displaystyle \theta }$ называется конгруэнцией на алгебраической системе ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , если оно стабильно относительно каждой главной операции системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ . (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ .)

Факторсистема

Для алгебраической системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=(A,{\mathit {\Phi }},{\mathit {\mathrm {P} }})}$ на фактормножестве ${\displaystyle A/\theta }$ по конгруэнции ${\displaystyle \theta \subseteq A^{2}}$ для всех операций ${\displaystyle f_{i}\in {\mathit {\Phi }}}$ и отношений ${\displaystyle r_{i}\in {\mathit {\mathrm {P} }}}$ естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

${\displaystyle f_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{n}]_{\theta })=[f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})]_{\theta }}$ ,

${\displaystyle r_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{m}]_{\theta })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\theta },\dots ,b_{m}\in [a_{m}]_{\theta })r_{i}(b_{1},\dots ,b_{m})}$ .

Получающаяся система обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\theta }$ и называется факторсистемой, а отображение ${\displaystyle h_{\theta }\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}/\theta }$ , определяемое правилом ${\displaystyle h_{\theta }(a)=[a]_{\theta }}$ — каноническим эпиморфизмом .

Множество всех конгруэнций данной системы ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ образует относительно операций объединения и пересечения , а также задает отношение включения:

${\displaystyle \theta _{1}\leqslant \theta _{2}\Leftrightarrow \forall a,b\in A\,a\,\theta _{1}\,b\to a\,\theta _{2}\,b}$ .

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы ${\displaystyle \{\theta _{i},i\in I\}\subseteq \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ имеет место следующий результат ( теорема Ремака ): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

${\displaystyle {\mathcal {A}}/\bigcap _{i\in I}{\theta _{i}}\hookrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}/\theta _{i}}}$ .

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М. : Наука , 1970. — 392 с. — 17 500 экз.

Для улучшения этой статьи желательно : Проставить сноски , внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.