Interested Article - Треугольный паркет

aoibhe
  • 2021-02-01
  • 1

Треугольная мозаика
Треугольная мозаика
Тип Правильная мозаика
Вершинная фигура 3.3.3.3.3.3 (3 6 )
Символ Шлефли {3,6}
6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
Диаграмма Коксетера node 6 node 3 node_1
node 6 node_h 3 node_h
node_1 split1 branch = node_h1 6 node 3 node
node_h split1 branch_hh
Группа симметрии , [6,3], (*632)
Вращательная симметрия , [6,3] + , (632)
p3 , [3 [3] ] + , (333)
Двойственная
мозаика 		Шестиугольная мозаика
Свойства Вершинно транзитивна ,
,

Треуго́льный парке́т ( треугольный паркета́ж ) или треугольная мозаика — это замощение плоскости равными правильными треугольниками , расположенными сторона к стороне.

Треугольная мозаика является двойственной шестиугольной мозаике — если соединить центры смежных треугольников, то проведённые отрезки дадут шестиугольную мозаику . Символ Шлефли треугольного паркета — {3,6}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся 6 треугольников.

Внутренний угол правильного треугольника равен 60 градусов, так что шесть треугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из трёх правильных мозаик плоскости . Другие две мозаики — шестиугольный паркет и квадратный паркет .

треугольного паркета

Английский математик Конвей называл мозаику deltille (дельта-мозаикой), поскольку она имеет форму греческой буквы дельта (Δ). Треугольную мозаику можно также назвать кис-шестиугольной мозаикой, если применить операцию , которая добавляет центральную вершину и треугольники, разбивая грани шестиугольной мозаики .

Однородные раскраски

Существует 9 различных однородных раскрасок треугольной мозаики (по цветам 6 треугольников вокруг вершины — 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314). Три из них можно получить их других путём замены цветов — 111212 и 111112 из 121213, комбинируя 1 и 3, в то время как 111213 получается из 121314 .

Существует один класс , 111112, (помечен *), в котором раскраска не является 1-однородной и содержит перемежающиеся ряды треугольников, в которых каждый третий выкрашен. Приведённая раскраска является 2-однородной и таких имеется бесконечно много, поскольку такие раскраски определяются произвольными сдвигами строк.

111111 121212 111222 112122 111112(*)
p6m (*632) p3m1 (*333) cmm (2*22) p2 (2222) p2 (2222)
121213 111212 111112 121314 111213
p31m (3*3) p3 (333)

Решётка A2 и упаковка кругов

Решётка A *
2 как три треугольные мозаики: node_1 split1 branch + node split1 branch_10lu + node split1 branch_01ld

треугольной мозаики называется решёткой A 2 . Она является 2-мерным вариантом .

Решётка A *
2 (которая также называется A 3
2 ) может быть построена как объединение трёх решёток A 2 и эквивалентна решётке A 2 .

node_1 split1 branch + node split1 branch_10lu + node split1 branch_01ld = dual of node_1 split1 branch_11 = node_1 split1 branch

Вершины треугольной мозаики являются центрами наиболее плотной упаковки кругов . Любой круг соприкасается с 6 другими кругами ( контактное число ). Плотность упаковки равна , это около 90,69 %. Поскольку объединение трёх решёток A 2 снова будет решёткой A 2 , круги можно раскрасить в три цвета.

Ячейкой диаграммы Вороного треугольной мозаики является шестиугольник , так что мозаика Вороного , шестиугольная мозаика, имеет прямое отношение к упаковке кругов.

Решётка A 2 упаковки кругов Решётка A *
2 упаковки кругов

Геометрические варианты

Треугольные мозаики могут быть идентичны {3,6} топологии правильной мозаики (6 треугольника в каждой вершине). Существует 5 вершинно транзитивных вариантов с одинаковыми гранями ( ). С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке .

Связанные многогранники и мозаики

Плоские мозаики связаны с многогранниками . Располагая меньше треугольников в каждой вершине, получим незаполненное пространство, что позволяет согнуть в фигуру в пирамиду . Отсюда можно получить правильные многогранники : пять, четыре и три треугольника в вершине дают икосаэдр , октаэдр и тетраэдр соответственно.

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с символами Шлефли {3,n}.

* n 32 симметрии правильных мозаик: 3 n or {3, n }
Сферическая Евклидова Компактная гипербол. Пара-
компактная 		Некомпактная гиперболическая
3.3 3 3 3 4 3 5 3 12i 3 9i 3 6i 3 3i

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с полуправильными многогранниками с конфигурацией граней Vn.6.6.


V3.6.6
V4.6.6
V5.6.6
V6.6.6

Построение Витхоффа из шестиугольных и треугольных мозаик

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик , базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 4 , имеющих те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p { q } r имеют ограничение: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r - угольниками .

Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, следующие два имеют треугольные рёбра, последний имеет перекрывающиеся шестиугольные рёбра.

2{6}6 или node_1 6 6node 3{4}6 или 3node_1 4 6node 3{6}3 или 3node_1 6 3node 6{3}6 или 6node_1 3 6node

Другие треугольные мозаики

Существуют также три , состоящие из треугольников одного типа:



30°-60°-90° прямоугольные треугольники
Разделённая квадратная
45°-45°-90° прямоугольные треугольники

30°-30°-120° равнобедренные треугольники

См. также

Примечания

  1. ↑ , с. 147.
  2. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  3. , с. 102-107.
  4. . Дата обращения: 26 марта 2017. 25 февраля 2021 года.
  5. , с. 74–75, pattern 1.
  6. , с. 473-481.
  7. , с. 111-112, 136.

Литература

  • С.В. Голомб. = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975. — С. 147. — 207 с.
  • B. Grünbaum , G.C. Shephard. Chapter 2.1: Regular and uniform tilings , Chapter 2.9 Archimedean and Uniform colorings // . — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — С. —65,102—107. — ISBN 0-7167-1193-1 .

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
    • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
    • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  • Klitzing, Richard.
  • Amit Patel. . — Алгоритмы представления шестиугольной и треугольной сеток в компьютерных стратегических играх.
Источник —

aoibhe
  • 2021-02-01
  • 1
  • Tags:

Same as Треугольный паркет

The title for the last searches