Геодезическая кривизна ${\displaystyle k_{g}}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ в римановой геометрии измеряет, насколько далеко кривая отличается от геодезической . Например, для 1D кривой на 2D поверхности, вложенной в 3D пространство , это кривизна кривой, спроецированной на плоскость, касательную к поверхности. Более обще, в заданном многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$ геодезическая кривизна ― это обычная кривизна кривой ${\displaystyle \gamma }$ (см. ниже). Однако если кривая ${\displaystyle \gamma }$ лежит в подмногообразии ${\displaystyle M}$ многообразия ${\displaystyle {\bar {M}}}$ (например, для кривизны поверхности ), геодезическая кривизна относится к кривизне ${\displaystyle \gamma }$ в ${\displaystyle M}$ , и она отличается в общем виде от кривизны ${\displaystyle \gamma }$ в объемлющем многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$ . (Объемлющая) кривизна ${\displaystyle k}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ зависит от двух факторов ― кривизны подмногообразия ${\displaystyle M}$ в направлении ${\displaystyle \gamma }$ ( нормальная кривизна ${\displaystyle k_{n}}$ ), которая зависит только от направления кривой и кривизны ${\displaystyle \gamma }$ в многообразии ${\displaystyle M}$ (геодезическая кривизна ${\displaystyle k_{g}}$ ), которая является величиной второго порядка. Связь между ними ― ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$ . В частности, геодезические на ${\displaystyle M}$ имеют нулевую геодезическую кривизну («прямые»), так что ${\displaystyle k=k_{n}}$ .

Определение

Рассмотрим кривую ${\displaystyle \gamma }$ на многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$ , параметризованную длиной кривой , с единичным касательным вектором ${\displaystyle T=d\gamma /ds}$ . Её кривизна равна норме ковариантной производной вектора ${\displaystyle T}$ : ${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$ . Если ${\displaystyle \gamma }$ лежит на ${\displaystyle M}$ , геодезическая кривизна равна норме проекции ковариантной производной ${\displaystyle DT/ds}$ на касательное пространство подмногообразия. Напротив, нормальная кривизна равна норме проекции ${\displaystyle DT/ds}$ на нормальное расслоение подмногообразия в рассматриваемой точке.

Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , то ковариантная производная ${\displaystyle DT/ds}$ равна обычной производной ${\displaystyle dT/ds}$ .

Пример

Пусть ${\displaystyle M}$ будет единичной сферой ${\displaystyle S^{2}}$ в трёхмерном евклидовом пространстве . Нормальная кривизна сферы ${\displaystyle S^{2}}$ равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну ${\displaystyle k=1}$ , так что они имеют нулевую геодезическую кривизну, а потому являются геодезическими. Меньшие круги радиуса ${\displaystyle r}$ будут иметь кривизну ${\displaystyle 1/r}$ и геодезическую кривизну ${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}}$ .

Некоторые результаты, использующие геодезическую кривизну

• Геодезическая кривизна ― это ничто иное, чем обычная кривизна, вычисленная в подмногообразии ${\displaystyle M}$ . Она не зависит от способа размещения подмногообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle {\bar {M}}}$ .
• Геодезическая на ${\displaystyle M}$ имеет нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно высказыванию, что ${\displaystyle DT/ds}$ ортогонален касательному пространству к ${\displaystyle M}$ .
• С другой стороны, нормальная кривизна строго зависит от того, как подмногообразие расположено в объемлющем пространстве, но мало от кривой ― ${\displaystyle k_{n}}$ зависит только от точки на многообразии и направления ${\displaystyle T}$ , но не от ${\displaystyle DT/ds}$ .
• В общей римановой геометрии производная вычисляется с помощью связности Леви-Чивиты ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ объемлющего многообразия: ${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T}$ . Она распадается на касательную часть и нормальную часть для подмногообразия ― ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }}$ . Касательная часть является обычной производной ${\displaystyle \nabla _{T}T}$ в ${\displaystyle M}$ (это частный случай уравнения Гаусса для Уравнения Петерсона ― Кодацци ), в то время как нормальная часть равна ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$ , где ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$ означает вторую квадратичную форму .
• Формула Гаусса — Бонне .

См. также

• Кривизна
• Поверхность Дарбу
• Уравнения Петерсона ― Кодацци

Литература

• Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. — Prentice-Hall, 1976. — ISBN 0-13-212589-7 .
• Heinrich Guggenheimer. Surfaces // Differential Geometry. — Dover, 1977. — ISBN 0-486-63433-7 .
• Yu.S. Slobodyan. Geodesic curvature // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .