Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )}$ и соленоидального поля ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )}$ : ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),}$ где ${\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0,}$ ${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0}$ для всех точек ${\displaystyle \mathbf {r} }$ области V.

В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

Любое векторное поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ , однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде: ${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} }$

Скалярная функция ${\displaystyle \Phi }$ называется скалярным потенциалом, векторная функция ${\displaystyle \mathbf {A} }$ называется векторным потенциалом. .

Формулировка теоремы

Пусть F — векторное поле в R ³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/ r , в случае неограниченной области. Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot \mathbf {F} ))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\nabla \times \mathbf {F} )),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F , он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию , ∇· F = 0, то F называется соленоидальным , или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {A} .}$

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F . Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇· A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇× F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем , а разложение F принимает вид

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot \mathbf {F} )=-\nabla \phi .}$

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F . Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} }$ ,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H , являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇· H = 0, ∇× H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇× (A+H) , на сумму которых распадается поле F .

Поля, определенные ротором и дивергенцией

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца .

Пусть дано скалярное поле ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$ и векторное поле ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$ ,   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/ r ² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ ,   что

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {d} }$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} .}$

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R ³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
3. задачу для всего пространства R ³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция ${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}=\mathbf {g} (\mathbf {S} )}$ для вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {F} }$ .

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция ${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}=\mathbf {g} (\mathbf {S} )}$ для вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {F} }$ , и на вектор-функцию ${\displaystyle \mathbf {F} }$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }}$ .

Задача для всего пространства R ³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию ${\displaystyle \mathbf {F} }$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }}$ .

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решения

Задача имеет решение не при всех ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$ , ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$ и ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$ :

1. Из тождества ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv 0}$ следует, что должно быть выполнено условие ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C} =0}$ ,   то есть дивергенция вектора ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$ обязана быть равной нулю.
2. Для внутренней задачи из тождества ${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV=\iint _{S}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )\,dS}$ следует, что ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {d(x,y,z)} \,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS}$ ,   то есть интеграл от краевого условия ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$ по ограничивающей поверхности ${\displaystyle \mathbf {S} }$ должен быть равен интегралу от функции ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$ по объему области.
3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R ³, функции ${\displaystyle \mathbf {d} }$ и ${\displaystyle \mathbf {C} }$ должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решения

A. Внутренняя задача : если

1. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0}$ и
2. ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {d(x,y,z)} \,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS}$ ,

то решение задачи восстановления поля ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ по ротору ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$ ,   дивергенции ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$ и граничному условию ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$ существует и единственно.

Б. Внешняя задача : если

1. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0}$ и
2. интегралы ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$ и ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$ сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при ${\displaystyle \mathbf {r} \to \infty }$ по крайней мере как ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{1+\varepsilon }}$ ,

то решение задачи восстановления поля ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ по ротору ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$ ,   дивергенции ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$ ,   граничному условию ${\displaystyle \mathbf {g(S)} }$ и условию, что ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ спадает на бесконечности по крайней мере как ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }}$ ,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R ³ : если

1. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0}$ и
2. интегралы ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$ и ${\displaystyle \iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'}$ сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при ${\displaystyle \mathbf {r} \to \infty }$ по крайней мере как ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{1+\varepsilon }}$ ,

то решение задачи восстановления поля ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ по ротору ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$ ,   дивергенции ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$ и условию, что ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ спадает на бесконечности по крайней мере как ${\displaystyle \mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }}$ ,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)}$ на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

1. Для заданной вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {F} }$ вычисляются: функция ${\displaystyle \mathbf {C} =\nabla \times \mathbf {F} }$ функция ${\displaystyle \mathbf {d} =\nabla \cdot \mathbf {F} }$ , краевое условие ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {S} )=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}}$ , если вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {F} }$ задана для подобласти пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с границей ${\displaystyle S}$ .
2. Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества ${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\equiv \iint _{S}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )\,dS}$ , следует условие совместности ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {d} (x,y,z)\,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS}$ . Поэтому все условия совместности входных данных для задачи ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{1}} =\mathbf {d} }$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{1}} =0}$ с краевым условием ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {S} )}$ выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {F_{1}} }$ является безвихревым полем.
3. Поскольку ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv 0}$ , условия совместности входных данных для задачи ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0}$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C} }$ с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {F_{2}} }$ является соленоидальным полем.
4. Рассмотрим задачу ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d} }$ , ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C} }$ с краевым условием ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {S} )}$ . Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция ${\displaystyle \mathbf {F} }$ , а с другой стороны, решением этой же задачи является функция ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$ . Значит, ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$ , искомое представление поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции ${\displaystyle \mathbf {d} (x,y,z)}$ вычисляется функция ${\displaystyle \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=\nabla \mathbf {U} }$ ,   где скалярный потенциал ${\displaystyle \mathbf {U} (x,y,z)}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle \mathbf {U} (x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}dx'dy'dz'}$ .

В результате получается функция ${\displaystyle \mathbf {F_{1}} (x,y,z)}$ ,   у которой ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=\mathbf {d} (x,y,z)}$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=0}$ ;

2) Для заданной функции ${\displaystyle \mathbf {C} (x,y,z)}$ вычисляется функция ${\displaystyle \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=\nabla \times \mathbf {A} }$ ,   где векторный потенциал ${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}dx'dy'dz'}$ .

В результате получается функция ${\displaystyle \mathbf {F_{2}} (x,y,z)}$ ,   у которой ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=0}$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=\mathbf {C} (x,y,z)}$ ;

3) Ищется функция ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$ ,   у которой ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=0}$ , ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=0}$ ,   а нормальная проекция на границе области ${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {F_{3}} )|_{S}}$ выбрана таким образом, чтобы ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F_{1}} +\mathbf {F_{2}} +\mathbf {F_{3}} }$ удовлетворяла граничному условию ${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}=\mathbf {g} (\mathbf {S} )}$ .

Чтобы найти такую функцию ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$ ,   делается подстановка ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=\nabla \mathbf {H} }$ ,   где скалярный потенциал ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z)}$ должен удовлетворять уравнению Лапласа ${\displaystyle \Delta \mathbf {H} =0}$ .   Для функции ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z)}$ получается краевое условие Неймана ${\displaystyle \left.{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial \mathbf {n} }}\right|_{S}=\mathbf {g(S)} -(\mathbf {n} \cdot (\mathbf {F_{1}+F_{2}} ))}$ ,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z)}$ всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$ всегда существует и единственна.

Функция ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)+\mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$ является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)+\mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$ ,   где ${\displaystyle \mathbf {F_{3}} (x,y,z)}$ ,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R ³, решением (единственным) будет функция ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)}$ ,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле ( div C=0 ), а d — скалярное поле в R ³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/ r ² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d}$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} .}$

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всём пространстве R ³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно. В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R ³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике ; например, уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа . Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )).}$

См. также

• Векторное поле
• Векторный анализ
• Формулы векторного анализа
• Соленоидальное векторное поле

Примечания

Литература

• Корн Г. А., Корн Т. М. . — М. : « Наука », 1974. — С. 177.
• Ли Цзун-дао . Математические методы в физике. — М. : Мир, 1965. — 296 с.