Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела . Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислить плотность состояний (число состояний в единичном энергетическом интервале) частицы, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или ${\displaystyle k}$ -пространство). «Расстояние» между состояниями определяется граничными условиями . Для свободных электронов и фотонов в области ${\displaystyle 0<x<L_{x}}$ или для электронов в кристаллической решётке с размером решётки ${\displaystyle L_{x}}$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции : ${\displaystyle \psi (x)=\psi (x+L_{x})}$ . С волновой функцией свободной частицы ${\displaystyle \psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ikx}}$ получаем соотношения

${\displaystyle 2\pi N=kL_{x}\qquad {\frac {2\pi }{L_{x}}}=\Delta k}$ ,

где ${\displaystyle N}$ — любое целое число, а ${\displaystyle \Delta k}$ — расстояние между состояниями с различными ${\displaystyle k}$ . Аналогичные соотношения имеют место и для других декартовых координат ( ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ ).

Полное количество ${\displaystyle k}$ -состояний, доступных для частицы, — это объём ${\displaystyle k}$ -пространства, доступного для неё, делённый на объём ${\displaystyle k}$ -пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle k}$ .

Объём ${\displaystyle k}$ -пространства для одного состояния в ${\displaystyle n}$ -мерном случае запишется в виде

${\displaystyle G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }},}$

где ${\displaystyle g_{s}}$ — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в ${\displaystyle k}$ -пространстве: ${\displaystyle g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk}}\,dk}$ . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle dk}$ в выражении ${\displaystyle g(k)dk}$ в терминах ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle dE}$ . Например для свободного электрона: ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}}$ , ${\displaystyle dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.}$

С более общим определением связано соотношение

${\displaystyle D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})}$

(обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель ${\displaystyle 1/V}$ ), где индекс ${\displaystyle s}$ соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а ${\displaystyle \delta }$ — дельта-функция . При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности ${\displaystyle 2n}$ следует использовать правило

${\displaystyle \sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n}}}}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка , ${\displaystyle p}$ — импульс, ${\displaystyle q}$ — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

Примеры

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии :

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
${\displaystyle 3D}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi k^{3}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}}$
${\displaystyle 2D}$	${\displaystyle \pi k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})}$
${\displaystyle 1D}$	${\displaystyle 2k}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{L_{x}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}}$
${\displaystyle 0D}$			${\displaystyle {\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})}$

где ${\displaystyle l}$ — индекс подзоны размерного квантования, ${\displaystyle \Theta }$ — функция Хевисайда . Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для ${\displaystyle D(E)}$ , приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж ^-1 м ^-3 и структуру «некое выражение ${\displaystyle \rho (E)}$ , делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все ${\displaystyle L}$ ), то останется ${\displaystyle \rho (E)}$ с размерностью [ ${\displaystyle \rho }$ ] = Дж ^-1 м ^-2 , Дж ^-1 м ^-1 и Дж ^-1 , соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только ${\displaystyle D(E)}$ , но и ${\displaystyle \rho (E)}$ .

Использование

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов , каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака , а для бозонов , в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна .

Скажем, концентрации электронов ( дырок ) в зоне проводимости ( валентной зоне ) полупроводника в равновесии рассчитываются как

${\displaystyle n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE}$ ,

где ${\displaystyle F}$ — функция Ферми, ${\displaystyle E_{c}}$ ( ${\displaystyle E_{v}}$ ) — энергия дна зоны проводимости ( потолка валентной зоны ). В качестве ${\displaystyle \rho }$ здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: ${\displaystyle \rho _{3D}}$ для толщи материала (и тогда концентрации будут в м ^-3 ), ${\displaystyle \rho _{2D}}$ для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м ^-2 ), ${\displaystyle \rho _{1D}}$ для квантовой проволоки (концентрацию получим в м ^-1 ) или ${\displaystyle \rho _{0D}}$ (случай квантовой точки , получим не концентрацию, а число штук частиц).

Внешние ссылки

• от 14 мая 2011 на Wayback Machine