Interested Article - Вырождение (квантовая механика)

Вырожденные состояния в квантовой системе

Вырождение (квантовая механика) — явление, при котором некоторая физическая величина (например. энергия , импульс и т. д.), характеризующая квантовую физическую систему, принимает одно и то же значение для разных состояний квантовой физической системы. Кратностью вырождения называется число различных состояний квантовой физической системы, имеющих одно и то же значение физической величины .

Математически это значит, что оператор этой физической величины имеет вырожденное собственное значение. Кратность вырождения равна размерности собственного подпространства для данного собственного значения. В случае вырождения недостаточно знать значения вырожденной физической величины, чтобы полностью охарактеризовать состояние системы, необходимо знать также значение других физических величин, которые все вместе образуют полную систему коммутирующих наблюдаемых .

Пример вырождения — случай нахождения частицы массой $m$ в квантовой нити квадратного сечения (движение по двум координатам $x$ и $y$ ограничено: $0<x<L$ , $0<y<L$ , а по третьей координате $z$ свободно). В таком случае набор возможных энергий записывается как

E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})=E^{*}\cdot (n_{x}^{2}+n_{y}^{2})

,

где $n_{x}$ , $n_{y}$ — натуральные числа, а $E^{*}=\,$ const. Здесь, например, уровень $E=5E^{*}$ оказывается двукратно вырожденным (ему соответствуют и комбинация $n_{x}=1,\,n_{y}=2$ , и комбинация $n_{x}=2,\,n_{y}=1$ ), а уровень $E=50E^{*}$ вырожден трёхкратно (варианты: $n_{x}=1,\,n_{y}=7$ ; $n_{x}=5,\,n_{y}=5$ ; $n_{x}=7,\,n_{y}=1$ ).

Вырождение играет фундаментальную роль в квантовой статистической механике . Для системы из N частиц в трех измерениях один уровень энергии может соответствовать нескольким различным волновым функциям. Все эти вырожденные состояния на одном уровне с равной вероятностью могут быть заполнены. Количество таких состояний дает вырождение того или иного уровня энергии.