Interested Article - Распределение Рэлея

Распределение Рэлея — это распределение вероятностей случайной величины $\displaystyle X$ с плотностью

f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,

где $\displaystyle \sigma$ — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

{\mathsf {P}}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.

Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

Применение

В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как $X$ и $Y$ , получим выражение для величины промаха в виде $R={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$ . В этом случае величина $R$ имеет распределение Рэлея.
В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.

Если ${X}$ и ${Y}$ — независимые гауссовские случайные величины , имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии ${{\sigma }^{2}}$ , то случайная величина $Z={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$ имеет распределение Рэлея.
Если независимые гауссовские случайные величины ${X}$ и ${Y}$ имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса .
Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с ${\sigma =1}$ имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению .