Interested Article - Задача об иголке

Задача об иголке состоит в определении минимальной площади фигуры на плоскости, в которой единичный отрезок, «иглу», можно развернуть на 180 градусов, вернув его в исходное положение с обращённой ориентацией. Такое возможно проделать в круге радиуса 1/2. Другой пример — фигура, ограниченная дельтоидой , — показан на картинке, он имеет меньшую площадь.

Оказывается, что можно построить фигуру с произвольно малой площадью.

История

Этот вопрос рассматривал . Он доказал, что для выпуклых областей минимальная площадь достигается для равностороннего треугольника с высотой 1. Его площадь равна $1/{\sqrt {3}}$ .

Возможно, Какея также выдвинул гипотезу, что фигура, ограниченная дельтоидой , как на рисунке, имеет наименьшую площадь. Это утверждение было опровергнуто Безиковичем .

Множество Безиковича

А. С. Безикович построил компактное множество $K$ нулевой меры, содержащее единичный отрезок в любом направлении.

Отсюда легко следует, что иглу можно развернуть в фигуре произвольно малой площади. Действительно, легко видеть, что единичный круг можно разбить на секторы и одними параллельными переносами поместить в произвольно малую окрестность множества $K$ .

Заметим, что единичный отрезок можно передвинуть на параллельную прямую в фигуре произвольно малой площади. Поэтому, повернув отрезок в одном секторе, его можно перетащить в следующий, пройдя по множеству произвольно малой площади; повторив эту операцию несколько раз, получим требуемый разворот.

Вариации и обобщения

В конструкции Безиковича при стремлении площади фигуры к нулю её диаметр стремится к бесконечности. В 1941 году Х. Дж. Ван Альфен показал , что иглу можно развернуть в фигуре сколь угодно малой площади, которая находится внутри круга с радиусом 2 + ε (для произвольного ε > 0).

Существуют односвязные подходящие (в которых можно развернуть иглу) множества с площадью меньшей, чем у фигуры, ограниченной дельтоидой.
- Такие примеры были найдены в 1965 году. Мелвин Блум и И. Ю. Шенберг показали, что их площадь можно сделать произвольно близкой к ${\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})$ .
- В 1971 году Каннингем показал , что для любого ε > 0 существует подходящая односвязная фигура с площадью менее ${\tfrac {\pi }{108}}+\varepsilon$ , содержащаяся в круге радиуса 1.

Определим ^* в R ⁿ как множество нулевой меры, содержащее единичный отрезок в любом направлении (такое множество также называется множеством Какея, или множеством Какейя). Так называемая гипотеза Какея утверждает, что множества Безиковича имеют размерность n (по Хаусдорфу и по Минковскому ), то есть равна размерности объемлющего пространства.
- Гипотеза Какея верна в размерностях 1 и 2 .
- Вольфф показал , что в n -мерном пространстве размерность множества Безиковича должна быть по крайней мере ( n +2)/2.
- В 2002 году Кац и Тао улучшили оценку Вольффа , показав, что размерность не может быть меньше $(2-{\sqrt {2}})(n-4)+3$ . Эта оценка лучше для n > 4.

Определим ( n , k )-множество Безиковича как компактное множество в R ⁿ нулевой меры, содержащее в каждом k -мерном направлении k -мерный единичный диск.

Гипотеза про ( n , k )-множества Безиковича: ( n , k )-множеств Безиковича не существует при k > 1.
- В 1979 году Марстранд доказал , что не существует (3, 2)-множества Безиковича.
- Примерно в то же время, Фолкнер доказал , что нет ( n , k )-множеств для 2 k > n .
- Лучшая оценка на сегодня принадлежит Бургейну, который доказал , что множества, у которых 2 ^{k
  
  -1} + k > n , не существуют.

В 1997 и 1999 году Вольфф доказал, что множества, содержащие сферу любого радиуса, должны иметь полную размерность, то есть размерность объемлющего пространства.

Элиас Штайн доказал , что любое множество, содержащее сферу вокруг каждой точки, должно иметь положительную меру при n ≥ 3, и Марстранд доказал то же для случая n = 2.

В 1999 году Вольфф сформулировал аналог задачи об игле для конечных полей . Пусть F — конечное поле. Множество K ⊆ F ⁿ называется множеством Безиковича, если для каждого вектора y ∈ F ⁿ существует такой x ∈ F ⁿ , что K содержит все вектора вида { x + ty : t ∈ F }.

Задача об игле в пространстве над конечным полем : Число элементов в K не меньше c _n | F | ⁿ , где c _n >0 — константа, которая зависит только от n .
Двир доказал эту гипотезу для c _n = 1/ n !, используя следующий аргумент. Двир отметил, что любой многочлен с n переменными степени менее чем | F |, который равен нулю на множестве Безиковича, должен быть тождественно равен нулю. С другой стороны, многочлены с n переменными степени менее чем | F | образуют векторное пространство размерности

{|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geqslant {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.

Следовательно, существует хотя бы один нетривиальный многочлен степени меньше, чем | F |, который равен нулю на произвольном множестве с меньшим числом точек. Отсюда множество Безиковича должно иметь хотя бы | F | ⁿ / n ! точек. Двир написал обзорную статью об этой задаче.

Приложения

В 1971 году Фефферман использовал построение множества Безиковича, чтобы показать, что в размерности большей, чем 1, усеченные интегралы Фурье, взятые по шарам с центром в начале координат с радиусами, стремящимися к бесконечности, могут не сходиться по норме L ^p при р ≠ 2 (в отличие от одномерного случая, где такие усеченные интегралы сходятся).

См. также

Примечания

Pal, Julius. Ueber ein elementares variationsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. — 1920. — Т. 2. — С. 1–35. JSTOR
Alphen, H. J. Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. — 1942. — Т. 10. — С. 144–157.
Cunningham, F. : [ 14 июля 2010 ] // American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 2. — С. 114–129. — doi : .
Davies, Roy. Some remarks on the Kakeya problem // Proc. Cambridge Philos. Soc.. — 1971. — Т. 69, вып. 3. — С. 417–421. — doi : .
Wolff, Thomas. An improved bound for Kakeya type maximal functions // Rev. Mat. Iberoamericana. — 1995. — Т. 11. — С. 651–674. — doi : .
Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. New bounds for Kakeya problems // J. Anal. Math.. — 2002. — Т. 87. — С. 231–263. — doi : .
Marstrand, J. M. Packing Planes in R ³ // Mathematika. — 1979. — Т. 26, вып. 2. — С. 180–183. — doi : .
Falconer, K. J. Continuity properties of k-plane integrals and Besicovitch sets // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.. — 1980. — Т. 87, вып. 2. — С. 221–226. — doi : .
Bourgain, Jean . Besicovitch type maximal operators and applications to Fourier analysis // Geom. Funct. Anal.. — 1997. — Т. 1, вып. 2. — С. 147–187. — doi : .
Wolff, Thomas. A Kakeya problem for circles // American Journal of Mathematics. — 1997. — Т. 119, вып. 5. — С. 985–1026. — doi : .
Wolff, Thomas (1999).
Stein, Elias. Maximal functions: Spherical means // PNAS. — 1976. — Т. 73, вып. 7. — С. 2174–2175. — doi : . PMC
Marstrand, J. M. Packing circles in the plane // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1987. — Т. 55. — С. 37–58. — doi : .
↑ Dvir, Zeev (2009).
от 3 мая 2016 на Wayback Machine // Terence Tao (2008-03-24).
Fefferman, Charles. The multiplier problem for the ball // Annals of Mathematics. — 1971. — Т. 94, вып. 2. — С. 330–336. — doi : . JSTOR

Литература

Яглом И. М. , Болтянский В. Г. . — М. — Л. : ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4).

Besicovitch, Abram (1963). «The Kakeya Problem». American Mathematical Monthly 70 (7): 697—706. doi : . JSTOR . MR .

Dvir, Zeev (2009). «On the size of Kakeya sets in finite fields». Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093—1097. arXiv : . doi : . MR .

Falconer, Kenneth J. (1985). The Geometry of Fractal Sets . Cambridge Tracts in Mathematics 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR .

Kakeya, Soichi (1917). «Some problems on maximum and minimum regarding ovals». Tohoku science reports 6 : 71-88.

Katz, Nets Hawk; Łaba, Izabella; Tao, Terence (2000). (PDF). Annals of Mathematics 152 (2): 383—446. doi : . JSTOR . MR .

Wolff, Thomas (1999). «Recent work connected with the Kakeya problem». In Rossi, Hugo. Prospects in Mathematics: Invited Talks on the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 129—162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR .

Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella; Shubin, Carol, eds. Lectures on Harmonic Analysis . University Lecture Series 29 . With a foreword by Charles Fefferman and preface by Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : . ISBN 0-8218-3449-5. MR .