В теории чисел , функция Лиувилля ${\displaystyle \lambda (n)}$ — мультипликативная арифметическая функция , равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел , и −1 в противном случае.

Точнее, пусть ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$ — факторизация числа, ${\displaystyle p_{1}<\ldots <p_{k}}$ — простые числа, ${\displaystyle a_{j}}$ — натуральные числа. Тогда

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{a_{1}+\ldots +a_{k}}}$ (последовательность в OEIS ).

Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса ${\displaystyle \mu (n)}$ . Если ${\displaystyle n=a^{2}b}$ , где ${\displaystyle b}$ — число, свободное от квадратов , то

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}$

Сумма функции по всем делителям ${\displaystyle n}$ является характеристической функцией множества точных квадратов:

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&n=k^{2},\;k\in \mathbb {N} \\0&{\sqrt {n}}\notin \mathbb {N} .\end{cases}}}$

Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к ${\displaystyle \lambda (n)}$ относительно свёртки Дирихле .

Ряды

Ряд Дирихле функции Лиувилля выражается через дзета-функцию Римана как

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Кроме того,

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Ряд Ламберта функции имеет вид

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

где ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ — тета-функция Якоби .

Литература

• Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31—40.
• Haselgrove, C. Brian (1958). "A disproof of a conjecture of Pólya". . 5 (2): 141—145. doi : . ISSN . MR . Zbl .
• Lehman, R. (1960). . Mathematics of Computation . 14 (72): 311—320. doi : . MR .
• Tanaka, Minoru (1980). . . 3 (1): 187—189. doi : . MR .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• A.F. Lavrik (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4