Interested Article - Критерий устойчивости Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость , разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом . Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова . Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком — необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка).

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ — передаточная функция системы, а $\ U(s)=0$ — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином $\ U(s)$ в виде

\ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}

где $s$ — комплексный аргумент.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица $\Delta$ по алгоритму :

по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от $\ a_{1}$ до $\ a_{n}$ ;
от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше $\ n$ ставятся нули.

Размерность матрицы Гурвица определяется максимальной степенью при s в характеристическом уравнении (то есть n ).

Или явно

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&a_{1}&a_{3}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n}\end{vmatrix}}$

Тогда согласно критерию Гурвица :

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все $\ n$ главных диагональных миноров определителя Гурвица были положительны, при условии $a_{0}>0$ . Эти миноры называются определителями Гурвица.

(Пример определителя Гурвица для характеристического уравнения пятой степени.)

Имеем характеристическое уравнение пятой степени: $\ U(s)=a_{0}s^{5}+a_{1}s^{4}+a_{2}s^{3}+a_{3}s^{2}+a_{4}s+a_{5}$ . Определители Гурвица будут иметь вид:

$\Delta _{5}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0&0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\end{vmatrix}}$ , $\Delta _{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}\end{vmatrix}}$ , $\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\end{vmatrix}}$ , $\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}$ , и $\Delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}$ . Для устойчивости динамической системы необходимо и достаточно чтобы все пять определителей были положительны.

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя . Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

Достоинства и недостатки

Недостаток критерия Гурвица — малая наглядность. Достоинство — удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя $\Delta _{n}=\Delta _{n-1}=0$ говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо $\Delta _{n}=0$ — при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор $\Delta _{n-1}=0$ — при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра $K_{i}$ влияет на значение определителя $\Delta _{n-1}$ . Исследуя это влияние можно найти, при каком значении $K_{i}$ определитель $\Delta _{n-1}$ станет равен нулю, а потом — отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

К вопросу об автоматизации метода

Метод Гурвица достаточно удобен для определения устойчивости звеньев при помощи ЭВМ. При этом, однако, следует учитывать, что применение критерия для систем с порядком выше 5 может привести к значительным ошибкам, поскольку вычисление определителей высоких порядков является достаточно сложной операцией и приводит к накоплению ошибок вычислений.

Ниже приведён пример автоматизации работы метода с использованием одного из самых распространённых языков для технических вычислений MATLAB версии 5.3 с его синтаксисом.

Представленная ниже функция выполняет все необходимые вычисления. Для работы её необходимо поместить в текстовый файл с расширением .m и именем, совпадающим с именем самой функции, в данном случае имя файла должно быть raus_gur.m .

function [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D)
% Определение устойчивости системы методом Рауса-Гурвица, заданной при
% помощи следующей передаточной функции.
% 
%          B(s)   
%   W(s) = ----,
%          D(s)     
% 
% Здесь D(s) - характеристический полином.
% 
% D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an 
%  
%   a0, a1, a2, ..., an - коэффициенты полинома D.
% 
% 
% Обращение к функции RAUS_GUR может быть выполнено двумя способами:
% 
%   Способ 1.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = raus_gur(D);
% 
%   Входные параметры:
% D - вектор коэффициентов знаменателя (характеристический полином)
% 
%   Выходные параметры:
% Ust - строковое значение, сообщающее устойчива система или неустойчива
%  
% Mnrs - вектор значений миноров от меньшего размера к большему,
% которые необходимо вычислить для оценки устойчивости по методу Рауса-Гурвица.
% Согласно методу Рауса-Гурвица, система устойчива, если все миноры положительны.
% Вычисления значения внешнего минора не имеют смысла, так как его знак
% всегда будет совпадать со знаком предыдущего минора.
% 
% Mtrx - полная матрица Рауса-Гурвица для данного полинома.
% 
%   Способ 2.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = raus_gur(W);
% 
%   Входные параметры:
% W - объект класса LTI (см. описание Control System Toolbox)  
% 
% Выходные параметры аналогичны вышеописанным.
% 
% 
% Ориентирована на работу в версии MATLAB 2022a

if isa(D,'tf')
   [~,D]=tfdata(D,'v');
end
n=length(D)-2;
Dr=[D zeros(1,n)];
A=flipud(reshape(Dr,2,[]));
Mtrx=cell2mat(arrayfun(@(x)(circshift(A',x))',(0:n/2)',"UniformOutput",false));
Mnrs=cell2mat(arrayfun(@(x)det(Mtrx(1:x,1:x)),(2:n)',"UniformOutput",false));
Z='';
if any(Mnrs<0)
    Z='не ';
end
Ust=['система ',Z,'устойчива'];
end

Пример

Пусть дана передаточная функция:

$\operatorname {W} (s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {5\cdot s+4}{{{s}^{5}}+16\cdot {{s}^{4}}+95\cdot {{s}^{3}}+260\cdot {{s}^{2}}+324\cdot s+144}}$

Тогда вызов приведенной выше функции будет выглядеть следующим образом:

format shortG

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
А результат вычислений:
A =

'система устойчива'

B =

1260

2.4696e+05

6.3504e+07

C =

16 260 144 0 0

1 95 324 0 0

0 16 260 144 0

0 1 95 324 0

0 0 16 260 144

0 0 1 95 324

A сообщает, что система устойчива.

Вектор В содержит значения диагональных определителей от 2×2 до 4×4, первый элемент не имеет значения, а значение внешнего определителя всегда будет иметь тот же знак, что и предыдущий. Согласно методу Гурвица, чтобы система была устойчива, все эти определители должны оказаться положительными.

Матрица С — сам определитель Гурвица.

Эту функцию вполне можно использовать в математических пакетах, имеющих схожий с MATLAB синтаксис или после небольшой переделки.

Система находится на границе апериодической устойчивости, если $a_{n}=0$ . Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.