Букет окружностей (известный также как роза ) — это топологическое пространство , полученное путём склеивания набора окружностей вокруг одной точки . Окружности букета иногда называются лепестками розы. Букеты окружностей важны в алгебраической топологии , где они тесно связаны со свободными группами .

Определение

Букет окружностей является частным случаем букета пространств . То есть букет окружностей является факторпространством C / S , где C является несвязным объединением окружностей по множеству S , состоящему по одной точке из каждой окружности. Как клеточный комплекс букет окружностей имеет одну вершину и по одному ребру для каждой окружности. Это делает его простым примером топологического графа .

Букет из n окружностей может быть получена также путём отождествления n точек одной окружности. Букет из двух окружностей называется восьмёркой .

Связь со свободными группами

Фундаментальная группа букета окружностей является свободной с одним генератором для каждого лепестка. Универсальное накрытие является бесконечным деревом, которое может быть отождествлён с графом Кэли свободной группы. (Это специальный случай , ассоциированного с любым заданием группы .)

Промежуточные накрытия букета окружностей соответствуют подгруппам свободной группы. Наблюдение, что любое накрытие букета окружностей является графом , даёт простое доказательство, что любая подгруппа свободной группы свободна ( ).

Поскольку универсальное накрытие букета окружностей стягиваемо , букет окружностей является K(F,1) пространством для ассоциированной свободной группы F . Из этого следует, что ${\displaystyle H^{n}(F)}$ тривиальна для ${\displaystyle n\geqslant 2}$ .

Другие свойства

• Любой связный граф гомотопически эквивалентен букету окружностей. В частности, букет окружностей является факторпространством графа, полученного путём стягивания остовного дерева .
• Шар с удалёнными n точками (или сфера с удалёнными ${\displaystyle n+1}$ точками) является деформационным ретрактом в букет окружностей с n лепестками. Одна из окружностей букета окружает каждую из удалённых точек.
• Тор с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в восьмёрку, а именно объединением двух генерирующих окружностей. Более обще, поверхность рода g с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в букет окружностей с 2 g лепестками, а именно в границу .
• Букет окружностей может иметь бесконечно много лепестков, что приводит к фундаментальной группе, которая свободна на бесконечно большом числе генераторов. Букет из счётного числа окружностей подобен гавайской серьге — имеется непрерывная биекция из букета окружностей в гавайскую серьгу, но они не гомеоморфны .

См. также

• Квадрифолий (четырёхлистник)
• Свободная группа
• Топологический граф

Примечания

Литература