Универсальное накрытие — в некотором смысле самое большое накрытие пространства. В непатологических случаях, универсальное накрытие есть накрытие односвязным пространством.

Определение

Накрытие ${\displaystyle p\colon {\tilde {Y}}\to Y}$ называется универсальным если для любого другого накрытия ${\displaystyle q\colon X\to Y}$ существует накрытие ${\displaystyle s\colon {\tilde {Y}}\to X}$ такое, что ${\displaystyle p=q\circ s}$ .

Примеры

• Примером пространства, не допускающего универсальное накрытие, является так называемая гавайская серьга : объединение последовательности окружностей, попарно касающихся в одной точке, радиусы которых стремятся к нулю.

• Две копии конуса над гавайской серьгой, склеенные по одной точке, в которой окружности гавайской серьги имеют общую точку, дают пример неодносвязного пространства с тривиальным (и значит неодносвязным) универсальным накрытием. Замкнутый путь, обегающий уменьшающиеся окружности и бегающий из конуса в конус, негомотопен нулю.

• Вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является универсальным накрытием окружности ${\displaystyle S^{1}}$ .

• ${\displaystyle n}$ -мерная сфера ${\displaystyle S^{n}}$ является универсальным накрытием вещественного проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ при ${\displaystyle n>1}$ .

Свойства

• Универсальное накрытие регулярно .

• Все локально линейно связные и полулокально односвязные связные пространства допускают универсальное накрытие. Более того, пространство накрытия является односвязным.
  • В частности, у любого локально односвязного связного пространства существует универсальное накрытие.

Примечания

Литература

• Аллен Хатчер. Алгебраическая топология / Пер. В. В. Прасолова. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5 .