Ограниченность в математике — свойство множеств , указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.

Исходное понятие — ограниченное числовое множество , таковым является множество вещественных чисел ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$ , для которого существуют числа ${\displaystyle m,M\in \mathbb {R} }$ такие, что для любого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle B}$ имеет место: ${\displaystyle m\leqslant x\leqslant M}$ , иными словами, ${\displaystyle B}$ целиком лежит в отрезке ${\displaystyle [m,M]}$ . Числа ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle M}$ называются в этом случае нижней и верхней границей множества ${\displaystyle X}$ соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно.

Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью , ограниченное снизу — точной нижней гранью (теорема о гранях). Конечное множество точек, интервал числовой оси ${\displaystyle [a,b]}$ (где ${\displaystyle a,b}$ — конечные числа), конечное объединение ограниченных множеств — ограниченные множества; множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — неограниченно; множество ${\displaystyle \mathbb {N} }$ натуральных чисел с точки зрения системы вещественных чисел — ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Ограниченная числовая функция — функция ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ , область значений которой ${\displaystyle f(D)}$ ограниченна, то есть существует такое ${\displaystyle m}$ , что для всех ${\displaystyle x}$ имеет место неравенство ${\displaystyle |f(x)|\leqslant m}$ . В частности, ограниченная числовая последовательность — последовательность ${\displaystyle (a_{i})}$ , для которой существует ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ такое, что для всех ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ выполнено ${\displaystyle |a_{i}|\leqslant m}$ .

Обобщения

Обобщения числовой ограниченности на более общие категории пространств могут различаться. Так, на подмножества произвольных частично упорядоченных множествах числовое определение переносится естественным образом (поскольку для определения требуется только отношение порядка ).

В топологическом векторном пространстве ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle k}$ ограниченным считается всякое множество ${\displaystyle B}$ , поглощаемое любой окрестностью нуля, то есть если существует такое ${\displaystyle \alpha \in k}$ , что ${\displaystyle B\subset \alpha U_{0}}$ . Ограниченный оператор на топологических векторных пространствах переводит ограниченные множества в ограниченные.

В случае произвольного метрического пространства ${\displaystyle (M,d)}$ ограниченными считаются множества конечного диаметра , то есть ${\displaystyle B\subseteq M}$ ограниченно, если ${\displaystyle \mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\}}$ конечно. При этом ввести понятия ограниченности сверху и снизу в общих метрических пространствах невозможно.

Более специальное понятие, распространяющееся на произвольные метрические пространства — вполне ограниченность ; в случае числовых множеств и в евклидовых пространствах это понятие совпадает с соответствующими понятиями ограниченного множества. В метрических пространствах топологическая компактность эквивалентна одновременной вполне ограниченности и полноте , и, хотя на произвольные топологические пространства понятие ограниченности не распространяется, компактность в общем случае можно считать некоторым аналогом ограниченности.

Литература

• Ограниченное множество — статья из Математической энциклопедии . М. И. Войцеховский