Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции . Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — линейное топологическое пространство, ${\displaystyle u,v}$ — произвольные элементы ${\displaystyle u,v\in X}$ . Обозначим ${\displaystyle \langle u,v\rangle }$ скалярное произведение элементов ${\displaystyle u,v}$ , ${\displaystyle \|.\|}$ — норма в пространстве ${\displaystyle X}$ . Оператор ${\displaystyle A\in (X\to X^{*})}$ называется:

• монотонным , если ${\displaystyle \langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant 0}$ ;
• строго монотонным , если ${\displaystyle \langle Au-Av,u-v\rangle >0}$ для ${\displaystyle u\neq v}$ ;
• d - монотонным , если ${\displaystyle \langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)}$ для некоторой строго возрастающей функции ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$ ;
• равномерно монотонным , если ${\displaystyle \langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant \rho (\|u-v\|)}$ для некоторой строго возрастающей функции ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$ с ${\displaystyle \rho (0)=0}$ ;
• сильно монотонным (c постоянной монотонности m) , если ${\displaystyle \langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant m\|u-v\|^{2}}$ , ${\displaystyle m>0}$ ;
• радиально непрерывным , если при любых фиксированных ${\displaystyle u,v\in X}$ вещественная функция ${\displaystyle s\to \langle A(u+sv),v\rangle }$ непрерывна на ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ ;
• коэрцитивным , если существует определённая на ${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$ вещественная функция ${\displaystyle \gamma }$ с ${\displaystyle \lim _{s\to \infty }=+\infty }$ , такая, что ${\displaystyle \langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|}$ .

Термин Монотонный оператор впервые ввел Вайнберг М. М.

Основная теорема теории монотонных операторов

Пусть ${\displaystyle A\in (X\to X^{*})}$ — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения ${\displaystyle Au=f}$ при любом ${\displaystyle f\in X*}$ непусто, слабо замкнуто и выпукло .

Примечания

Литература

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М. : Мир, 1978. — 336 с.
• Вариационный метод и метод монтонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М. : Наука, 1972. — 416 с.