Фу́нкция Ри́мана — пример функции вещественной переменной , которая непрерывна на множестве иррациональных чисел , но разрывна на множестве рациональных . В этом качестве играет важную роль в математическом анализе . Является модификацией функции Дирихле . В русских источниках она обычно называется «функцией Римана» в честь Бернхарда Римана , в английской литературе у этой функции встречается масса других названий: Thomae's function, the popcorn function, the raindrop function, the countable cloud function, the modified Dirichlet function, the ruler function .

Определение

Функция Римана ${\displaystyle R(x)}$ определена для вещественного аргумента ${\displaystyle x}$ следующим образом.

В частности, ${\displaystyle R(0)=1}$ .

Свойства

Функция ${\displaystyle R(x)}$ ограничена — принимает значения в отрезке ${\displaystyle [0,1].}$ Она периодична с периодом, равным 1: ${\displaystyle f(x+1)=f(x).}$

Функция непрерывна всюду на множестве иррациональных чисел, поскольку предел функции в каждой такой точке равен нулю, но разрывна во всех рациональных точках. При этом в каждой рациональной точке функция имеет строгий локальный максимум .

Функция Римана нигде не дифференцируема , однако интегрируема по Риману на любом интервале. При этом интеграл везде равен нулю, так как функция равна нулю почти везде . Отметим, что родственная функция Дирихле не интегрируема по Риману .

Примечания

Литература

• Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М. : Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4 .

Ссылки

• (англ.) . Дата обращения: 2 мая 2019.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .