Объём — это аддитивная функция от множества ( мера ), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства . Первые точные определения были даны Пеано ( 1887 ) и Жорданом ( 1892 ). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Подходы к определению

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана , но иногда мера Лебега . Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности .

Понятие объёма допускает естественное обобщения до понятия ${\displaystyle n}$ -мерного объёма в ${\displaystyle n}$ -мерном пространстве, также на случай римановых и псевдоримановых пространств произвольной размерности.

Объёмы простейших тел

Фигура	Формула	Обозначения
Куб	${\displaystyle c^{3}}$	${\displaystyle c}$ — ребро куба
Призма	${\displaystyle Sh}$	${\displaystyle S}$ — площадь основания, ${\displaystyle h}$ — высота призмы
Цилиндр	${\displaystyle \pi r^{2}h}$	${\displaystyle r}$ — радиус , ${\displaystyle h}$ — высота цилиндра
Шар	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$	${\displaystyle r}$ — радиус
Эллипсоид	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$	${\displaystyle a,\;b,\;c}$ — главные оси
Пирамида	${\displaystyle {\frac {1}{3}}Ah}$	${\displaystyle A}$ — площадь основания, ${\displaystyle h}$ — высота пирамиды
Конус	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$	${\displaystyle r}$ — радиус основания, ${\displaystyle h}$ — высота конуса

Архимед сумел установить, что сфера и конусы с общей вершиной, вписанные в цилиндр, соотносятся следующим образом:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

Общая интегральная формула

Объём тела ${\displaystyle D}$ в трёхмерном пространстве вычисляется как тройной интеграл :

${\displaystyle V=\iiint \limits _{D}1\ dxdydz}$ (в декартовых координатах )

${\displaystyle V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz}$ (в цилиндрических координатах )

${\displaystyle V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$ (в сферических координатах )

См. также

• Мера Жордана
• Мера Лебега
• Смешанный объём
• Площадь поверхности

Примечания

Литература

• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф., Основные математические формулы. Справочник/Под ред. Богданова Ю. С. Изд. второе, перераб. и доп. Минск, «Вышэйшая школа», 1988
• Мерзон Г.А., Ященко И.В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409 .
• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с.