Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности . Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p ( x ) степени n возможно представить в виде a ( x − x ₁ )…( x − x _n ), где x ₁ , …, x _n — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a ≠ 0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a ( x − x ₁ )…( x − x _n ), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых- одночленов , тождественно не равных нулю.

Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно .

Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду p ( x ₁ ,…, x _d ) = 0, где полином p ( x ₁ , …, x _d ) имеет степень n , называется (многочленным) уравнением степени n .

Степень полинома обозначается deg ( англ. degree , фр. degré , от лат. gradus + de -).

Названия определённых степеней

• Степень многочлена, тождественно равного нулю, не определена, но в некоторых случаях её принимают равной −1 или −∞ ( ).
• Степень константы, не равной нулю, — 0.
• Степень линейного многочлена — 1. Уравнение, в котором линейная функция приравнивается нулю, — уравнение 1-й степени .
• Степень квадратного многочлена — 2. Соответствующее уравнение — уравнение 2-й степени .
• Степень кубического многочлена — 3. Ему соответствует уравнение 3-й степени .

В d -мерном евклидовом пространстве ( d − 1)-мерная поверхность , являющаяся решением уравнения p ( x ₁ ,…, x _d ) = 0 степени n с декартовыми координатами x ₁ , …, x _d , называется ( d − 1)-мерной поверхностью n -го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения . Отдельные названия гиперповерхностей:

• квадрика — гиперповерхность второго порядка. В одномерном случае квадрика представляет собой конику — плоскую кривую , один из эквивалентных способов получить которую — пересечь прямой круговой конус плоскостью;
• кубика — гиперповерхность третьего порядка. Примеры плоских кубик: кубика Чирнгауза , полукубическая парабола ;
• квартика — гиперповерхность 4-го порядка: например, квартика Люрота .

Примеры

1. Многочлен x ( x − 2) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей.
2. У многочлена (2 x − 1)(3 x − 2) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: 2 × 3( x − 1 / 2 )( x − 2 / 3 ), — так что он имеет степень 2.
3. У многочлена 16 x ⁵ + (−20) x ³ + 5 x + (−1) одночлен с наибольшей степенью — это 16 x ⁵ , а значит, степень многочлена равна 5.
4. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином ( x ² + 1) ² − (− x ² + 1) ² имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 4 x ² .
5. Многочлен 2(2 x − y ) xy является третьей степени.
6. Многочлен x ² + y имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x ² , причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y .
7. Степень многочлена xy + y + x равна 2.

Степень многочлена при операциях над ними

Умножение

При умножении ненулевого многочлена p ( x ) на ненулевую константу c степень не изменяется:

${\displaystyle \deg {\big (}cp(x){\big )}=\deg p(x).}$

Например, степень полинома 6( x − 1 / 2 )( x − 2 / 3 ) = 6 x ² − 5 x + 2, как и ( x − 1 / 2 )( x − 2 / 3 ) = x ² + −5 / 6 x + 1 / 3 , равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p ( x ) и q ( x ) равна сумме степеней этих полиномов:

${\displaystyle \deg {\big (}p(x)q(x){\big )}=\deg p(x)+\deg q(x).}$

К примеру, степень многочлена ( x ² + 1)( x ³ − x − 1) = x ⁵ − x ² − x − 1 равна 2 + 3 = 5.

Сложение, вычитание

Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:

${\displaystyle \deg {\big (}p(x)+q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.}$

То же самое неравенство верно и для разности:

${\displaystyle \deg {\big (}p(x)-q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg(-1\cdot q(x)){\big )}=\max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.}$

При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен ( x ² + 1) ² имеет четвёртую степень, ( x + 1) ² — вторую, а многочлены ( x ² + 1) ² ± ( x + 1) ² — 4-ю.

Композиция

Пусть p ( x ) и q ( x ) — ненулевые многочлены. Тогда:

${\displaystyle \deg[q\circ p(x)]=\deg[p\circ q(x)]=\deg p(x)\deg q(x).}$

Например, если p ( x ) = x ² + 1, q ( x ) = x ³ + 1, то степени многочленов p ∘ q ( x ) = x ⁶ + 2 x ³ + 2 и q ∘ p ( x ) = x ⁶ + 3 x ⁴ + 3 x ² + 2 равны 2 × 3 = 6.

Степень многочлена нескольких переменных

Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x ¹ y ² x ³ относительно x и y равна 1 + 2 + 3 = 6.

В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен xy + y + x имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy .

Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином x ² + y ² + xy + x + y имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y . Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(x-{\tfrac {-y-1-{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\right)\left(x-{\tfrac {-y-1+{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\right),}$

а относительно y :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(y-{\tfrac {-x-1-{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\right)\left(y-{\tfrac {-x-1+{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\right).}$

Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином ( x ² + 1) y ² + ( x + 1) y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y , только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен ( x ² + 1) y ² обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y ).

Степень нулевого многочлена

Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой , либо отрицательной — как правило, −1 или −∞.

В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие свойства степеней при преобразовании многочленов.

При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства ( свойства аффинно расширенной числовой прямой ):

• ${\displaystyle \max(-\infty ,n)=n;}$
• ${\displaystyle -\infty +n=-\infty .}$

Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p ( x ) — ненулевой многочлен степени n , то

• ${\displaystyle \deg(p(x)+0)=\deg p(x)=n\leqslant \max(\deg p(x),\deg 0)=\max(n,-\infty )=n;}$
• ${\displaystyle \deg(p(x)\cdot 0)=\deg 0=-\infty ,}$ а с другой стороны, ${\displaystyle \deg p(x)+\deg 0=n-\infty =-\infty .}$

Примечания

Ссылки