Псевдоголоморфная кривая (или J -голоморфная кривая ) — гладкое отображение из Римановой поверхности в почти комплексное многообразие , удовлетворяющее уравнениям Коши — Римана .

История

Псевдоголоморфные кривые были введены в 1985 году Михаилом Громовым ,  с тех пор они произвели революцию в изучении симплектических многообразий . В частности, теорема о симплектическом верблюде была доказана с использованием псевдоголоморфных кривых.

Они также используются в определении , и играют важную роль в теории струн .

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой ${\displaystyle J}$ . Пусть ${\displaystyle C}$ гладкая риманова поверхность (также называется комплексной кривой ) с комплексной структурой ${\displaystyle j}$ . Псевдоголоморфная кривая в ${\displaystyle X}$ представляет собой отображение ${\displaystyle f:C\to X}$ , которое удовлетворяет условию

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

То есть дифференциал ${\displaystyle df}$ комплексно-линейный.

Замечания

• В частности, ${\displaystyle J}$ отображает касательные пространства

  ${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

на себя.

• Несмотря на то, что псевдоголоморфные кривые определяются для произвольного почти комплексного многообразия, основные приложения псевдоголоморфных кривых приходятся на симплектические многообразия с совместимой почти комплексной структурой ${\displaystyle J}$
  • То есть такой, что следующее неравенство выполняется для всех ненулевых касательных векторов ${\displaystyle v}$

    ${\displaystyle \omega (v,Jv)>0,}$

где ${\displaystyle \omega }$ обозначает симплектическую форму .

• В частности

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

определяет Риманову метрику .

• Для данного ${\displaystyle \omega }$ , пространство всех совместимых почти комплексных структур ${\displaystyle J}$ непусто и стягиваемо .

Свойства

• Если псевдокомплексная структура ${\displaystyle J\colon T_{p}\to T_{p}}$ для симплектической формы с ассоциированной римановой метрикой ${\displaystyle g}$ то любая ${\displaystyle J}$ -голоморфная кривая является минимальной поверхностью .
  • Более того, любая ${\displaystyle J}$ -голоморфная кривая минимизирует площадь в своём гомологическом классе и ${\displaystyle \omega }$ является её .

Список литературы

• Под редакцией Элиашберга Я. и Трейнора Л. . — МЦНМО, 2008. — 424 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-130-8 .
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1 .
• M. Gromov. (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1985. — Vol. 82 . — P. 307—347 . 13 апреля 2018 года.
• Donaldson, Simon K. (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : journal. — 2005. — October ( vol. 52 , no. 9 ). — P. 1026—1027 .