Теорема Громова о компактности или Теорема выбора Громова гласит, что множество римановых многообразий данной размерности с кривизной Риччи ≥ c и диаметром ≤ D является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа .

История

Теорема была доказана Громовым , в доказательстве используется неравенство Бишопа — Громова .

Появление этой теоремы подтолкнуло изучение александровских пространств ограниченной снизу кривизны в размерностях 3 и выше и, позже, обобщённых пространств с ограниченной снизу кривизной Риччи.

Вариации и обобщения

• Теорема является обобщением теоремы Майерса .

Теорема Громова — следствие следующего утверждения.

• Любое универсально вполне ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство ${\displaystyle X}$ метрических пространств называется универсально вполне ограниченным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует целое положительное число ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ такое, что любое пространство из ${\displaystyle X}$ допускает ${\displaystyle \varepsilon }$ -сеть из не более чем ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ точек.

См. также

• Теорема выбора Бляшке

Примечания

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4 .