Почти плоское многообразие — гладкое компактное многообразие М такое, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ на М существует риманова метрика ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ , такая, что ${\displaystyle {\mbox{diam}}(M,g_{\varepsilon })\leqslant 1}$ и ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ является ${\displaystyle \varepsilon }$ -плоской, то есть её секционные кривизны ${\displaystyle K_{g_{\varepsilon }}}$ в каждой точке удовлетворяют неравенству

${\displaystyle |K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon .}$

Примеры

• Любое компактное многообразие, допускающее плоскую метрику, является почти плоским. В частности, почти плоскими многообразиями являются
  • ${\displaystyle n}$ -мерный тор
  • Бутылка Клейна
• Примером не плоского, но почти плоского многообразия является пространство нетривиального расслоения со слоем окружность над тором. Это пространство можно получить как фактор группы Гейзенберга по её целочисленной подгруппе и его конечные накрытия.

Свойства

• Для любого n существует положительное число ${\displaystyle \varepsilon _{n}>0}$ такое, что если n -мерное многообразие допускает ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ -плоские метрики с диаметром ${\displaystyle \leqslant 1}$ , то онo почти плоскоe.
• Почти плоское многообразие как многообразие, коллапсирующее к точке с зажатой кривизной: М — почти плоское, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ на М существует риманова метрика ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ , такая, что диаметр многообразия меньше ${\displaystyle \varepsilon }$ , и ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ имеет ограниченную секционную кривизну, скажем, в каждой точке удовлетворяют неравенству ${\displaystyle |K_{g_{\epsilon }}|<1}$ .
• По теореме Громова — Руха , многообразие М является почти плоским тогда и только тогда, когда оно является инфранильмногообразием . В частности, оно является конечным фактором нильмногообразия . Последнее можно определить индуктивно как пространство главного расслоения со слоем окружность над нильмногообразием.

Литература

• Gromov, M. (1978), , Journal of Differential Geometry , 13 (2): 231—241, MR .
• [in английский] (1982), , Journal of Differential Geometry , 17 (1): 1—14, MR .