Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии . Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности .

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle M}$ — полное n -мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи , то есть

${\displaystyle \mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K}$

для постоянной ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$ .

Обозначим через ${\displaystyle B(p,r)_{M}}$ шар радиуса r вокруг точки p , определенный по отношению к римановой функции расстояния .

Пусть ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ обозначает n -мерное модельное пространство. То есть ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ — полное n -мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны ${\displaystyle K}$ . Таким образом,

• ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ является n -сферой радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ , если ${\displaystyle K>0}$ , или
• n -мерным евклидовым пространством , если ${\displaystyle K=0}$ , или
• пространством Лобачевского с кривизной ${\displaystyle K<0}$ .

Тогда для любых ${\displaystyle p\in M}$ и ${\displaystyle {\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)}$ функция

${\displaystyle \phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}{\operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}}}}$

не возрастает в интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$ .

Замечания

• При ${\displaystyle K=0}$ неравенство можно записать следующим образом

  ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}$

при ${\displaystyle \lambda \geqslant 1}$ .

• Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что

  ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}.}$

Это неравенство иногда называется неравенством Бишопа ; оно было доказано Бишопом .

См. также

• Теорема Майерса

Примечания