Interested Article - Форвардная мера

Форвардная мера , а точнее $T$ $T$ -форвардная мера - применяемая в стохастической финансовой теории (математике) искусственная вероятностная мера , эквивалентная риск-нейтральной мере . Если риск-нейтральная мера основана на стоимостной базе (numeraire) банковского счета , то $T$ $T$ -форвардная мера основана на дисконтной облигации с погашением в будущий момент $T$ $T$ .

Преимущество форвардной меры перед базовой риск-нейтральной мерой заключается в том, что в формуле оценки стоимости будущего условного платежа дисконт фактор является множителем вне условного математического ожидания (в риск-нейтральной мере дисконтирующий процесс под знаком математического ожидания). Недостаток - форвардная мера привязана к конкретному сроку платежа в отличие от риск-нейтральной меры.

Форвардную меру обычно обозначают по аналогии с риск-нейтральной мерой, но с индексом срока (верхним или нижним) $\mathbb {Q} ^{T}$ $\mathbb {Q} ^{T}$ . Форвардные цены являются мартингалами в собственной форвардной мере (срок меры равен сроку на который оценена форвардная цена).

Построение форвардной меры

Формула замены риск-нейтральной меры на форвардную меру для условных математических ожиданий имеет вид:

$\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]={\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)V_{T}] \over \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]}$ $\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]={\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)V_{T}] \over \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]}$

где $D(t,T)$ $D(t,T)$ - дисконтирующий процесс, а $P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]$ $P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]$ - стоимость дисконтной облигации (с единичным номиналом) с датой погашения $T$ $T$ .

Отсюда, учитывая формулу оценки стоимости будущего условного платежа в риск-нейтральной мере (числитель дроби в предыдущей формуле) можно записать следующую формулу оценки стоимости в форвардной мере:

$V_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)V_{T}]=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]$ $V_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)V_{T}]=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]$

Как видно в последней формуле (в форвардной мере) в отличие от первой (риск-нейтральная мера) дисконт-фактор уже вне знака условного математического ожидания. Таким образом, дисконт-факторы здесь это уже рыночные оценки кривой доходности на текущий момент.

Выражение $\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]$ $\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]$ как можно показать - это форвардная цена данного актива. Соответственно, эта формула оценки также устанавливает взаимосвязь между спот-ценой и форвардной ценой:

$S_{t}=P(t,T)F_{t}^{T}$ $S_{t}=P(t,T)F_{t}^{T}$

Связанные понятия

Терминальная мера - форвардная мера, соответствующая сроку последнего платежа для данной совокупности платежей (сроку окончания финансового инструмента).

Пусть по инструменту предполагаются платежи $CF_{i}$ $CF_{i}$ (в общем случае случайные, например, плавающие) в моменты времени $T_{i},i=1..n$ $T_{i},i=1..n$ . Стоимость такого инструмента можно записать в собственных форвардных мерах этих платежей следующим образом:

$V_{t}=\sum _{i=1}^{n}P(t,T_{i})\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{i}}}(CF_{i})$ $V_{t}=\sum _{i=1}^{n}P(t,T_{i})\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{i}}}(CF_{i})$

Однако, с помощью процедуры замены мер можно записать стоимость в одной и той же форвардной мере, например в мере $\mathbb {Q} ^{T_{n}}$ $\mathbb {Q} ^{T_{n}}$ - терминальной (для данного инструмента, для данного потока платежей) мере:

$V_{t}=P(t,T_{n})\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{n}}}\left[{\frac {CF_{i}}{P(T_{i},T_{n})}}\right]$ $V_{t}=P(t,T_{n})\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{n}}}\left[{\frac {CF_{i}}{P(T_{i},T_{n})}}\right]$