Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство .

История

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта , Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

Построение

1. Начните со сферического колпака.
2. Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям  три полоски.
3. Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
   
4. Склеить оставшиеся края полосок.
   

Свойства

• Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию . То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
  • В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
• Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы .

Параметризация Брайанта — Кунсера

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и .

Для комплексного числа ${\displaystyle w}$ , пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$

Поверхность ${\displaystyle w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})}$ является минимальной поверхностью с тремя концами . Её инверсия, то есть поверхность ${\displaystyle w\mapsto (x,\;y,\;z)}$ задаваемая как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.}$

и есть поверхности Боя.

Замечания

• Поверхность остаётся неизменной при замене ${\displaystyle w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w}}}}$ , где ${\displaystyle {\bar {w}}}$ комплексно-сопряженное к ${\displaystyle w}$ .

См. также

• поверхность Морина

Примечания

Литература

• Kirby, Rob (November 2007), (PDF) , Notices of the AMS , 54 (10): 1306—1307 от 4 августа 2016 на Wayback Machine описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
  • Casselman, Bill (November 2007), (PDF) , Notices of the AMS , 54 (10): 1356 от 3 марта 2016 на Wayback Machine Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Kusner, Rob (1987), (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society (New series) , 17 (2): 291—295, doi : от 7 сентября 2008 на Wayback Machine .
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), от 26 декабря 2019 на Wayback Machine .
• (1978), "Equations du retournement de la sphère", C. R. Acad. Sci. Paris , 287 (13): A879—A882
• Sanderson, B. от 17 апреля 2007 на Wayback Machine .

Внешние ссылки

• от 8 июля 2016 на Wayback Machine
• от 19 октября 2008 на Wayback Machine - апплет плюс журнал .
• от 12 июля 2016 на Wayback Machine , содержит в том числе от 8 сентября 2016 на Wayback Machine , и от 8 сентября 2016 на Wayback Machine в тополога в .
• от 16 сентября 2016 на Wayback Machine
• — выкройка и инструкции
• от 14 августа 2016 на Wayback Machine
• от 3 марта 2016 на Wayback Machine
• от 16 мая 2016 на Wayback Machine визуализации видео из математического Института сербской Академии наук и искусств
• от 18 апреля 2016 на Wayback Machine как сделать поверхность Боя, используя ножницы, кусок бумаги, и скотча. бумаги в видео.