Interested Article - Полилогарифм

Полилогарифм — специальная функция , обозначаемая $\operatorname {Li} _{s}(z)$ и определяемая как бесконечный степенной ряд

\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},

где s и z — комплексные числа , причём $|z|<1$ . Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения .

Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости
$\operatorname {Li} _{-3}(z)$
$\operatorname {Li} _{-2}(z)$
$\operatorname {Li} _{-1}(z)$
$\operatorname {Li} _{0}(z)$
$\operatorname {Li} _{1}(z)$
$\operatorname {Li} _{2}(z)$
$\operatorname {Li} _{3}(z)$

Частным случаем является $s=1$ , при котором $\operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)$ . Функции $\operatorname {Li} _{2}(z)$ и $\operatorname {Li} _{3}(z)$ получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

\operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t.

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и .

Частные значения

\operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2

\operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}

\operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,

(где

\,\zeta (3)\,

— постоянная Апери )

\operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)

\operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}

\operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}

\operatorname {Li} _{-2}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}

\operatorname {Li} _{-3}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}

\operatorname {Li} _{-4}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\,.

Литература

Abel, N.H. Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II (фр.) / Sylow, L.; Lie, S.. — Christiania [Oslo]: (англ.) ( , 1881. — С. 189—193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
Abramowitz, M.; Stegun, I.A. (англ.) ( with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.) . — New York: Dover Publications , 1972. — ISBN 0-486-61272-4 .
(англ.) ( ; (англ.) ( ; (англ.) ( . (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1997. — April ( vol. 66 , no. 218 ). — P. 903—913 . — doi : .
Bailey, D.H.; Broadhurst, D.J. (June 20, 1999). "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder". arXiv : . {{ cite arXiv }} : |class= игнорируется ( справка ) ; Недопустимый |ref=harv ( справка )
Berndt, B.C. Ramanujan's Notebooks, Part IV (неопр.) . — New York: Springer-Verlag , 1994. — С. 323—326. — ISBN 0-387-94109-6 .
Boersma, J.; Dempsey, J.P. On the evaluation of Legendre's chi-function (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1992. — Vol. 59 , no. 199 . — P. 157—163 . — doi : . — JSTOR .
Borwein, J.M.; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J.; Lisonek, P. Special Values of Multiple Polylogarithms (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society . — 2001. — Vol. 353 , no. 3 . — P. 907—941 . — doi : .
Clunie, J. On Bose-Einstein functions (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1954. — Vol. 67 , no. 7 . — P. 632—636 . — doi : .
Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. (неопр.) // Experimental Mathematics. — 1992. — Т. 1 , № 1 . — С. 25—34 . 1 марта 2012 года.
(англ.) ( . The functions of Schläfli and Lobatschefsky (неопр.) // Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). — 1935. — Т. 6 , № 1 . — С. 13—29 . — doi : .
Cvijovic, D.; Klinowski, J. (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society : journal. — 1997. — Vol. 125 , no. 9 . — P. 2543—2550 . — doi : .
Cvijovic, D. (англ.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A : journal. — 2007. — Vol. 463 , no. 2080 . — P. 897—905 . — doi : .
Erdélyi, A. ; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1 (неопр.) . — New York: Krieger, 1981.
Fornberg, B.; Kölbig, K.S. Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1975. — Vol. 29 , no. 130 . — P. 582—599 . — doi : . — JSTOR .
GNU Scientific Library. (2010). Дата обращения: 13 июня 2010. 14 мая 2012 года.
Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M. (англ.) . — 4th. — New York: Academic Press , 1980. — ISBN 0-12-294760-6 .
Guillera, J.; Sondow, J. Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent (англ.) // (англ.) ( : journal. — 2008. — Vol. 16 , no. 3 . — P. 247—270 . — doi : . — arXiv : .
Hain, R.M. (March 25, 1992). "Classical polylogarithms". arXiv : . {{ cite arXiv }} : |class= игнорируется ( справка ) ; Недопустимый |ref=harv ( справка )
Jahnke, E.; Emde, F. Tables of Functions with Formulae and Curves (англ.) . — 4th. — New York: Dover Publications , 1945.
Jonquière, A. (фр.) // (англ.) ( . — 1889. — Т. 17 . — С. 142—152 .
Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation (англ.) // BIT : journal. — 1970. — Vol. 10 . — P. 38—74 . — doi : .
Kirillov, A.N. Dilogarithm identities (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1995. — Vol. 118 . — P. 61—142 . — doi : . — arXiv : .
Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions (неопр.) . — London: Macdonald, 1958.
Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions (неопр.) . — New York: North-Holland, 1981. — ISBN 0-444-00550-1 .
Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (неопр.) . — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. — Т. 37. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-1634-9 .
Markman, B. The Riemann Zeta Function (неопр.) // BIT. — 1965. — Т. 5 . — С. 138—141 .
Maximon, L.C. (неопр.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A. — 2003. — Т. 459 , № 2039 . — С. 2807—2819 . — doi : .
McDougall, J.; Stoner, E.C. The computation of Fermi-Dirac functions (неопр.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A. — 1938. — Т. 237 , № 773 . — С. 67—104 . — doi : .
Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (нем.) // Nova Acta Leopoldina. — Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. — Т. XC , № 3 . — С. 121—212 .
Prudnikov, A.P.; Marichev, O.I.; Brychkov, Yu.A. Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions (англ.) . — Newark, NJ: Gordon and Breach , 1990. — ISBN 2-88124-682-6 . (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
Robinson, J.E. Note on the Bose-Einstein integral functions (неопр.) // Physical Review, Series 2. — 1951. — Т. 83 , № 3 . — С. 678—679 . — doi : .
Rogers, L.J. On function sum theorems connected with the series $\scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}$ (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : journal. — 1907. — Vol. 4 , no. 1 . — P. 169—189 . — doi : .
Erwin Schrödinger . Statistical Thermodynamics (неопр.) . — 2nd. — Cambridge, UK: Cambridge University Press , 1952.
Truesdell, C. On a function which occurs in the theory of the structure of polymers (англ.) // Annals of Mathematics, Series 2 : journal. — 1945. — Vol. 46 , no. 1 . — P. 144—157 . — doi : . — JSTOR .
Vepstas, L. (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". arXiv : . {{ cite arXiv }} : |class= игнорируется ( справка ) ; Недопустимый |ref=harv ( справка ) ; Неизвестный параметр |month= игнорируется ( справка )
Whittaker, E.T. ; Watson, G.N. A Course of Modern Analysis (неопр.) . — 4th. — Cambridge, UK: Cambridge University Press , 1952.
Wood, D.C. (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Дата обращения: 1 ноября 2005. 14 мая 2012 года.
(1989). "The dilogarithm function in geometry and number theory". Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 . Studies in Mathematics. Vol. 12. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press. pp. 231—249. ISBN 0-19-562367-3 . {{ cite conference }} : Недопустимый |ref=harv ( справка ) (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131—145, and as Chapter I of ( ).)
Zagier, D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization (англ.) / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P.. — Berlin: Springer-Verlag , 2007. — P. 3—65. — ISBN 978-3-540-30307-7 .