(а) Функция ${\displaystyle A_{n}}$ для первых 100 простых.

(б) Функция ${\displaystyle A_{n}}$ для первых 200 простых.

(в) Функция ${\displaystyle A_{n}}$ для первых 500 простых.

Графическое свидетельство в поддержку гипотезы Андрицы для первых (а) 100, (б) 200 и (в) 500 простых чисел. Функция ${\displaystyle A_{n}}$ всегда меньше 1.

Гипотеза Андрицы — гипотеза относительно интервалов между простыми числами , согласно которой неравенство:

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

выполняется для всех ${\displaystyle n}$ , где ${\displaystyle p_{n}}$ является ${\displaystyle n}$ -м простым числом . Если ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ означает ${\displaystyle n}$ -й интервал , то гипотезу Андрицы можно переписать как:

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}$ .

Сформулирована румынским математиком в 1986 году .

Эмпирическое подтверждение

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до ${\displaystyle 1{,}3002\times 10^{16}}$ . Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до ${\displaystyle 4\times 10^{18}}$ .

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке ${\displaystyle n=4}$ со значением ${\displaystyle A_{4}\approx 0{,}670873\dots }$ , и бóльших значений нет среди первых 10 ⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания ${\displaystyle n}$ , гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

Обобщения

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

где ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$ -ое простое, а ${\displaystyle x}$ может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по ${\displaystyle x}$ находится при ${\displaystyle n=1}$ , когда ${\displaystyle x_{\max }=1}$ . Есть гипотеза, что наименьшее значение ${\displaystyle x}$ равно ${\displaystyle x_{\min }\approx 0{,}567148\dots }$ , которое находится при ${\displaystyle n=30}$ .

Эта гипотеза формулируется в виде неравенства , обобщающего гипотезу Андрицы:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$ для ${\displaystyle x<x_{\min }}$ .

См. также

• Гипотеза Крамера
• Гипотеза Лежандра
• Гипотеза Фирузбэхт

Примечания

Литература

• Richard K. Guy . Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag , 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2 .
• Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. — 1986. — Т. 31 , № 4 . — С. 44–48 . — ISSN .
• Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. — John Wiley & Sons, Inc., 2005. — ISBN 0-471-46234-9 .

Ссылки

• at PlanetMath
• от 27 декабря 2019 на Wayback Machine at PlanetMath
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .