Гипотеза Бейтмана — Хорна — теоретико-числовое утверждение, касающееся частоты простых чисел среди значений системы многочленов . Сформулирована и в 1962 году. Является обобщением гипотезы Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов и гипотезы о простых числах вида n ² + 1; а также является усилением гипотезы H .

Определение

Гипотеза Бейтмана — Хорна обеспечивает ^{[ уточнить ]} предполагаемую плотность положительных целых чисел, при которой все заданные полиномы имеют простые значения. Для набора m различных неприводимых многочленов ƒ ₁ , …, ƒ _m с целыми коэффициентами, очевидное необходимое условие для того, чтобы полиномы одновременно порождали простые значения бесконечно часто, состоит в том, что они удовлетворяют свойству Буняковского , что не существует простого числа p , которое делит их произведение f ( n ) на каждое положительное целое число n . Ибо, если бы было такое простое число p , то наличие всех значений многочленов одновременно простых для данного n означало бы, что по крайней мере один из них должен быть равен p , что может произойти только для конечного числа значений n , иначе будет многочлен с бесконечным числом корней, тогда как гипотеза состоит в том, как задать условия, при которых значения одновременно являются простыми для бесконечного числа n .

Целое число n является порождающим простое число для данной системы многочленов, если каждый многочлен ƒ _i ( n ) даёт простое число, когда задано n в качестве аргумента. Если P ( x ) — это количество целых чисел, порождающих простые числа среди положительных целых чисел, меньших x , тогда гипотеза Бейтмана-Хорна утверждает, что

${\displaystyle P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,}$

где D — произведение степеней полиномов, а C — произведение простых чисел p .

${\displaystyle C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m}}}\ }$

с ${\displaystyle N(p)}$ количество решений для

${\displaystyle f(n)\equiv 0{\pmod {p}}.\ }$

Свойство Буняковского подразумевает ${\displaystyle N(p)<p}$ для всех простых чисел p , поэтому каждый множитель в бесконечном произведении C положителен. Тогда интуитивно можно ожидать, что константа C сама по себе положительна, и с некоторой работой это можно доказать. (Работа необходима, поскольку некоторые бесконечные произведения положительных чисел равны нулю.)

Отрицательные числа

Как указано выше, гипотеза неверна: единственный многочлен ƒ ₁ ( x ) = − x даёт только отрицательные числа, когда задан положительный аргумент, поэтому доля простых чисел среди его значений всегда равна нулю. Есть два равнозначных способа уточнить гипотезу, чтобы избежать этой трудности:

• Можно потребовать, чтобы все полиномы имели положительные ведущие коэффициенты, так что только постоянное количество их значений может быть отрицательным.
• В качестве альтернативы можно разрешить отрицательные ведущие коэффициенты, но считать отрицательное число простым, если его абсолютное значение является простым.

Разумно позволить отрицательным числам считаться простыми числами в качестве шага к формулировке более общих предположений, применимых к другим системам чисел, чем целые числа, но в то же время легко просто отрицать полиномы, и если необходимо, свести к случаю, когда старшие коэффициенты положительны.

Примеры

Если система многочленов состоит из одного многочлена ƒ ₁ ( x ) = x , тогда значения n , для которых ƒ ₁ ( n ) являются простыми числами, сами по себе являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теоремы о простых числах .

Если система многочленов состоит из двух многочленов ƒ ₁ ( x ) = x и ƒ ₂ ( x ) = x + 2, тогда значения n , для которых оба ƒ ₁ ( n ) и ƒ ₂ ( n ) — простые числа, то это просто меньшее из двух простых чисел в каждой паре чисел-близнецов . В этом случае гипотеза Бейтмана — Хорна сводится к гипотезе Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов, согласно которой количество пар простых чисел-близнецов меньше x является

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1.32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

Аналог для многочленов над конечным полем

Когда целые числа заменяются кольцом многочленов F [ u ] для конечного поля F , можно спросить, как часто конечный набор многочленов f _i ( x ) в F [ u ][ x ] одновременно принимает неприводимые значения в F [ u ], когда мы заменяем x элементами F [ u ]. Хорошо известные аналогии между целыми числами и F [ u ] предлагают аналог гипотезы Бейтмана — Хорна о F [ u ], но аналог неверен. Например, данные показывают, что многочлен

${\displaystyle x^{3}+u\,}$

в F ₃ [ u ][ x ] принимает (асимптотически) ожидаемое количество неприводимых значений, когда x пробегает многочлены в F ₃ [ u ] , но он, кажется, принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидалось, когда x пробегает многочлены степени, равной 2 по модулю 4, в то время как он (доказуемо) вообще не принимает неприводимых значений, когда x пробегает непостоянные многочлены со степенью, кратной 4. Аналог гипотезы Бейтмана — Хорна о F [ u ], который соответствует числовым данным, использует дополнительный множитель в асимптотике, который зависит от значения d по модулю 4, где d — это степень многочленов в F [ u ], по которым производится выборка x .

Ссылки

• Бейтман Пол Тревье,Хорн Роджер Алан (1962), "Эвристическая асимптотическая формула распределения простых чисел", Математика вычислений , 16 (79): 363—367, doi : , JSTOR , MR , Zbl
• Гай, Ричард Кеннет (2004), Нерешённые проблемы теории чисел (3rd ed.), Издательство Шпрингер , ISBN 978-0-387-20860-2 , Zbl
• Фридлендер Джон, Гранвиль Эндрю (1991), "Ограничения равномерного распределения простых чисел. IV.", Труды Королевского общества А , 435 (1893): 197—204, Bibcode : , doi : .
• Сорен Лэйнг Алетия-Зомлефер, Ленни Фукшски, Стефан Рамон Гарсия (25 июля 2018), ОДНА ГИПОТЕЗА, ЧТОБЫ УПРАВЛЯТЬ ИМИ ВСЕМИ: БЕЙТМАН–ХОРН (англ.) , pp. 1—45, arXiv : {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка )