Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}}$ при ${\displaystyle a_{j}\geqslant 1}$ , имеется бесконечно много натуральных чисел n , для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}}$ с целыми ${\displaystyle a_{j},b_{j}}$ , причем ${\displaystyle a_{j}\geqslant 1}$ . Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}}$ являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p , что при любом n хотя бы одно число ${\displaystyle a_{j}n+b_{j}}$ кратно p . Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение ${\displaystyle (a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}}$ . В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n , так и одна прогрессия при всех n . Например, для 2-х прогрессий ${\displaystyle n,2n}$ всегда ${\displaystyle 2\mid 2n}$ , а для 2-х других прогрессий ${\displaystyle n,n+3}$ при четных n ${\displaystyle 2\mid n}$ , а при нечетных — ${\displaystyle 2\mid n+3}$ , так что в парах прогрессий ${\displaystyle n,2n}$ и ${\displaystyle n,n+3}$ число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа ${\displaystyle 2,3,5,...}$ , но и отрицательные числа ${\displaystyle -2,-3,-5,...}$ (каковые действительно являются простыми элементами в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий ${\displaystyle a_{j}n+b_{j}}$ и значит условие ${\displaystyle a_{j}\geqslant 1}$ можно ослабить до ${\displaystyle a_{j}\neq 0}$ , а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе ${\displaystyle a_{j}n+b_{j}}$ — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи

• Случай ${\displaystyle k=1}$ уже доказан — это теорема Дирихле .
• Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов ( n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен ( n и 2 n + 1 простые).
• Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида ${\displaystyle n,n+2t}$ , t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар ${\displaystyle (n,n+2)}$ , ${\displaystyle (n,n+4)}$ , ${\displaystyle (n,n+6)}$ и т. п.).
• Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n ${\displaystyle p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})}$ , то число бесконечно (это опять же пары ${\displaystyle (n,n+2)}$ , тройки ${\displaystyle (n,n+2,n+6)}$ , четверки ${\displaystyle (n,n+2,n+6,n+8)}$ и т. д.)
• В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла , содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы

Пусть ${\displaystyle w(p)}$ — число решений сравнения ${\displaystyle (a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}}$ . Согласно предположению гипотезы, ${\displaystyle w(p)<p}$ и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x , для которых все числа ${\displaystyle a_{j}n+b+j}$ простые, оценивается величиной

${\displaystyle \prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t}},}$

здесь произведение берется по всем простым числам p , а ${\displaystyle \ln }$ — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна ${\displaystyle \prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},}$ но 1-е выражение должно быть точнее. При ${\displaystyle k=1}$ , нетрудно проверить, коэффициент будет равен ${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (a_{1})}}}$ , что соответствует теореме Дирихле (здесь ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера ).

Обобщения

Гипотеза Диксона была позже обобщена до гипотезы Шинцеля .

См. также

• Простые числа-триплеты
• Простые числа Софи Жермен
• Гипотеза Полиньяка
• Теорема Грина — Тао
• Арифметические прогрессии из простых чисел
• Гипотеза Бейтмана — Хорна

Ссылки

• Dickson, L. E. (1904), , Messenger of mathematics , 33 : 155—161 от 16 мая 2016 на Wayback Machine
• (1996), , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , MR от 23 июня 2016 на Wayback Machine
• от 23 октября 2012 на Wayback Machine