Interested Article - Проблемы Ландау

На Международном конгрессе математиков 1912 года Эдмунд Ландау перечислил четыре главные проблемы в теории простых чисел . Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау .

Гипотеза Гольдбаха : Можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
Гипотеза о числах-близнецах : Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?
Гипотеза Лежандра : Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами ?
Существует ли бесконечно много простых чисел p , для которых p − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида n ² + 1? (последовательность в OEIS ).

Все четыре проблемы на 2022 год остаются открытыми.

Продвижение в направлении решения проблем

Гипотеза Гольдбаха

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого n . В 2013 Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5 . В отличие от проблемы Гольдбаха , слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня доказывает, что для всех достаточно больших n $2n=p+q$ , где p простое, а q либо простое, либо полупростое . Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет плотность нуль .

В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня : любое чётное число, большее $e^{e^{36}}\approx 1.7\cdot 10^{1872344071119348}$ , является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Гипотеза о числах-близнецах

Чжан Итан показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с . При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 ( Мейнард , Голдстон, Пинц и Йылдырым ).

Чэнь показал, что имеется бесконечно много простых чисел p (позднее названных простыми числами Чэня ), таких, что p +2 является простым или полупростым.

Гипотеза Лежандра

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими p , меньше величины $2{\sqrt {p}}$ . Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×10 ¹⁸ . Контрпример около 10 ¹⁸ должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более $x^{1/6}$ нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим ${\sqrt {2p}}$ . В частности,

\sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leq p_{n}\leq 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.

.

Результат Ингема показывает, что существует простое между $n^{3}$ и $(n+1)^{3}$ для любого достаточно большого n .

Почти квадратные простые числа

Теорема Фридландера — Иванеца показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид $x^{2}+y^{4}$ .

Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида $n^{2}+1$ с максимум двумя простыми делителями .

Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для L-функций на существует бесконечно много простых чисел вида $x^{2}+y^{2}$ с $y=O(\log x)$ .

Дешуиллерс и Иванец , улучшив результат Хули и Тодда , показали, что существует бесконечно много чисел вида $n^{2}+1$ с бо́льшим простым множителем по меньшей мере $n^{1.2}$ . Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы.

В обратную сторону, показывает, что существует $O({\frac {\sqrt {x}}{\log x}})$ таких простых, меньших x .

Примечания

- Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv : [ ].
- Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv : [ ].
- Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv : [ ].
, с. 353–370.
* Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv : [ ].
, с. 1121–1174.
, с. 12.
.
, с. 61–65.
.
, с. 489–518.
, с. 255–266.
, с. 1054–1058.
, с. 178–188.
, с. 241–261.
, с. 913–919.
, с. 1–11.
, с. 281—299.
, с. 517–528.

Литература

// Acta Arithmetica. — 1975. — Т. 27 .
Yitang Zhang. // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179 , вып. 3 .
Polymath D.H.J. Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes // Research in the Mathematical Sciences. — 2014. — Т. 1 , № 12 . — С. 12 . — doi : . — arXiv : .
Maynard J. // Annals of Mathematics.
Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz, Cem Yalçın Yıldırım. // Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences. — 2006. — Т. 82 , вып. 4 . — doi : . 27 марта 2009 года.
Jens Kruse Andersen. .
Kaisa Matomäki. Large differences between consecutive primes // Quarterly Journal of Mathematics. — 2007. — Т. 58 . — doi : .
Ingham A. E. On the difference between consecutive primes // Quarterly Journal of Mathematics Oxford. — 1937. — Т. 8 , вып. 1 . — doi : .
John Friedlander, Henryk Iwaniec. Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial // PNAS . — 1997. — Т. 94 , вып. 4 . — doi : . — . — PMC .
Iwaniec H. Almost-primes represented by quadratic polynomials // Inventiones Mathematicae . — 1978. — Т. 47 , вып. 2 . — doi : .
Robert J. Lemke Oliver. // Acta Arithmetica. — 2012. — Т. 151 . — doi : . (недоступная ссылка)
Ankeny N. C. Representations of primes by quadratic forms // Amer. J. Math.. — 1952. — Т. 74 , вып. 4 .
Jean-Marc Deshouillers, Henryk Iwaniec. // Annales de l'institut Fourier . — 1982. — Т. 32 , вып. 4 .
Hooley C. On the greatest prime factor of a quadratic polynomial // Acta Math.. — 1967. — Т. 117 .
Todd J. // American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56 . — С. 517–528 . — doi : .