Гипотеза Лежандра (3-я проблема Ландау) — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами , согласно которой для любого натурального ${\displaystyle n}$ существует простое число между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ . Является одной из проблем Ландау . Сформулирована Лежандром в 1808 году, по состоянию на 2024 год ни доказана, ни опровергнута.

Промежутки простых чисел

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ асимптотически стремится к ${\displaystyle n/\ln n}$ . Поскольку это число растёт при росте ${\displaystyle n}$ , это даёт основания для гипотезы Лежандра.

Если гипотеза верна, интервал между любым простым ${\displaystyle p}$ и следующим простым всегда должен быть порядка ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ , а в ${\displaystyle O}$ -нотации интервал равен ${\displaystyle O({\sqrt {p}})}$ . Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана , но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.

Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок ${\displaystyle (\log p)^{2}}$ ), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших ${\displaystyle n}$ . Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$ размера наибольшего интервала между простыми числами .

Контрпример в районе 10 ¹⁸ должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.

Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама .

Частичные результаты

В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале ${\displaystyle [x,\,x+O(x^{21/40})]}$ для всех больших ${\displaystyle x}$ .

Таблица максимальных интервалов простых чисел показывает , что гипотеза выполняется до ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$ .

Было доказано, что для бесконечного количества чисел ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ выполняется

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)}}-{\frac {n^{2}}{\log n}}\right)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\right\rfloor \leq \pi \left((n+1)^{2}\right)-\pi \left(n^{2}\right),}$

где ${\displaystyle \pi }$ — функция распределения простых чисел .

См. также

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Брокара
• Гипотеза Фирузбэхт

Примечания

Литература

• Baker R. C., Harman G., Pintz G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Vol. 83 , iss. 3 . — P. 532—562 . — doi : .
• Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to ${\displaystyle 4\cdot 10^{18}}$ (англ.) // Mathematics of Computation. — 2014. — Vol. 83 , iss. 288 . — P. 2033—2060 . — doi : .
• Ian Stewart. (англ.) . — Basic Books, 2013. — ISBN 9780465022403 . .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Hashimoto, Tsutomu (2008). "On a certain relation between Legendre's conjecture and Bertrand's postulate". arXiv : .
• Mitra, Adway; Paul, Goutam; Sarkar, Ushnish (2009). "Some conjectures on the number of primes in certain intervals". arXiv : .
• Paz, German (2013). "On Legendre's, Brocard's, Andirca's and Oppermann's conjectures". arXiv : .