Нерешённые проблемы математики : Любая ли пара квадрата и прямоугольного числа (если оба больше 1) разделена по меньшей мере одним простым числом

Гипотеза Оппермана — это нерешённая проблема математики о распределении простых чисел . Гипотеза тесно связана с гипотезой Лежандра , гипотезой Андрицы и гипотезой Брокара , но более строгая. Гипотеза названа именем датского математика Людвига Оппермана, который опубликовал гипотезу в 1882 .

Утверждение

Гипотеза утверждает, что для любого целого ${\displaystyle x>1}$ существует по меньшей мере одно простое число между

${\displaystyle x(x-1)}$ и ${\displaystyle x^{2}}$ ,

и по меньшей мере другое простое между

${\displaystyle x^{2}}$ и ${\displaystyle x(x+1)}$ .

Гипотезу можно также перефразировать эквивалентно как утверждение, что функция распределения простых чисел должна принимать неравные значения в концах каждого интервала . То есть

${\displaystyle \pi (x^{2}-x)<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)}$ для ${\displaystyle x>1}$ ,

где ${\displaystyle \pi (x)}$ — количество простых чисел, не превосходящих ${\displaystyle x}$ . Концами этих двух интервалов является квадрат между двумя прямоугольными числами , и каждое из этих прямоугольных чисел равно удвоенному треугольному числу . Сумма этих двух треугольных чисел равна квадрату.

Следствия

Если гипотеза верна, то интервалы между простыми числами должны быть порядка

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}\,}$ ,

что лишь немного лучше бесспорно доказанного

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{0,525}\,}$ ,

Это также означает, что между ${\displaystyle x^{2}}$ и ${\displaystyle (x+1)^{2}}$ должно быть по меньшей мере два простых числа (одно в интервале от ${\displaystyle x^{2}}$ до ${\displaystyle x(x+1)}$ , а другие — в интервале от ${\displaystyle x(x+1)}$ до ${\displaystyle (x+1)^{2}}$ ), что усиливает гипотезу Лежандра , по которой в этом интервале должно находиться по меньшей мере одно число. Поскольку между двумя нечётными простыми числами находится по меньшей мере одно составное, из гипотезы следует также гипотеза Брокара , что между квадратами последовательных нечётных простых чисел находится по меньшей мере четыре простых числа . Кроме того, из гипотезы следует, что наибольшие возможные интервалы между двумя последовательными простыми числами должны быть не более чем пропорциональны удвоенному квадратному корню чисел, что утверждает гипотеза Андрицы .

Из гипотезы также следует, что по меньшей мере одно простое число можно найти в четверти оборота спирали Улама .

Состояние гипотезы

Даже для маленьких значений x количество простых чисел в промежутках, задаваемых гипотезой, много больше 1, что даёт большую надежду, что гипотеза верна. Однако гипотеза не доказана на 2015 год .

См. также

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Фирузбэхт
• Теорема о распределении простых чисел

Примечания

Литература