Interested Article - Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии , которая гласит, что функция , непрерывная на компакте , ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней .

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.

Формулировка теоремы

Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций , действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел .

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций

В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т. е. существуют такие, что для всех .

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

  • Пусть функция ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
    и
  • Пусть функция ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
    и

Доказательство

Доказательство теоремы для непрерывных функций

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань . Поскольку точная верхняя грань, существует последовательность такая, что . По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность , предел которой (назовем его ) также принадлежит отрезку . В силу непрерывности функции имеем , но с другой стороны . Таким образом, точная верхняя грань конечна и достигается в точке .

Для нижней грани доказательство аналогично.

Доказательство теоремы в общем случае

Пусть — компакт, и функция непрерывна на . Рассмотрим совокупность множеств , где — открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и, очевидно, образуют покрытие . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие , откуда имеем , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции , , и применить к ним только что доказанное утверждение.

Замечания

В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал . Например, функция тангенс

непрерывна в каждой точке области определения , но не ограничена.

См. также

Примечания

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. — М. , 1998. — С. 248—251.
Источник —

Same as Теорема Вейерштрасса о функции на компакте