Функция расходов — в микроэкономике ( теория потребления ) — функция зависимости минимальных расходов потребителя от цен на блага и требуемой (минимальной) величины полезности или объёма благ с заданной полезностью. Представляет собой денежную оценку хиксианского спроса .

Формальное определение

Двойственная задача потребителя заключается в выборе такого набора благ ${\displaystyle h}$ , чтобы его полезность была не меньше заданной полезности (полезности заданного набора ${\displaystyle x}$ ), а совокупные расходы ${\displaystyle ph}$ были минимальными ( ${\displaystyle p}$ — вектор цен на блага). То есть

${\displaystyle ph\rightarrow min,\{h\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(h)\geq u^{*}(x)\}}$

Решение этой задачи — ${\displaystyle h(p,u^{*})}$ — спрос Хикса .

Функцией расходов ${\displaystyle e(p,u^{*})}$ называют зависимость затрат на приобретение набора ${\displaystyle h(p,u^{*})}$ от ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle u^{*}}$ ), то есть:

${\displaystyle e(p,u^{*})=ph(p,u^{*})}$

Поскольку решение двойственной задачи потребителя достигается на границе допустимого множества, то есть ${\displaystyle u(h)=u^{*}(x)}$ , то иногда в качестве аргументов функции расходов используется не значение полезности ${\displaystyle u^{*}}$ , а потребительский набор ${\displaystyle x}$ , полезность которой равна ${\displaystyle u^{*}}$ , то есть:

${\displaystyle e(p,x)=ph(p,u(x))}$

Свойства

При некоторых слабых предположениях (неоклассические непрерывные предпочтения потребителя) функция расходов является непрерывной функцией и по вектору ${\displaystyle p}$ — вогнутой (выпуклой вверх), однородной первой степени и не убывающей функцией. Кроме того можно показать, что если набор ${\displaystyle x}$ «не хуже» набора ${\displaystyle y}$ в смысле нестрогого отношения предпочтения , то ${\displaystyle e(p,x)\geqslant e(p,y)}$ .

Спрос Хикса равен частной производной функции расходов по ценам ( Лемма Шепарда ).

См. также

Лемма Шепарда