Interested Article - Коммутант

Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр , содержащих групповую структуру ( подгруппа , подкольцо , в наиболее общем случае — подгруппа мультиоператорной группы ), показывающая степень некоммутативности групповой операции.

Коммутант группы является наименьшей нормальной подгруппой , такой что фактор по ней является абелевой группой . Коммутант кольца — идеал , порождённый всевозможными произведениями элементов.

Коммутант мультиоператорной группы

Наиболее универсально коммутант определяется для мультиоператорной группы . Коммутантом мультиоператорной алгебры ${\mathfrak {G}}=(G,+,-,0,\Sigma )$ называется её идеал , порождённый её коммутаторами, то есть элементами вида:

[g_{1},g_{2}]=-g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}

,

а также элементами:

-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})

для каждой $n$ -арной операции $\sigma \in \Sigma$ из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Коммутант группы

Коммутант группы $G$ ( производная группа или второй член ) — подгруппа, порождённая множеством $\{[g_{1},g_{2}]\mid g_{1},g_{2}\in G\}$ всевозможных произведений конечного числа коммутаторов пар элементов группы $G$ . Используются следующие обозначения для коммутанта группы $G$ : $[G,G],\;G',\;T_{2}(G)$ , $K(G)$ . (При этом коммутаторы в различных источниках записывают по-разному: встречается (в мультипликативной записи) как $[g_{1},g_{2}]=g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}$ , так и $[g_{1},g_{2}]=g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}g_{1}g_{2}$ ).

Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой , а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной .

Ряды коммутантов

Конструкцию коммутанта можно проитерировать:

G^{(0)}:=G

,

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

для

n\in \mathbb {N}

.

Группы $G^{(2)}$ , $G^{(3)}$ , … называются второй производной группой , третьей производной группой и так далее. Убывающий ряд групп:

G=G^{(0)}\vartriangleright G^{(1)}\vartriangleright G^{(2)}\vartriangleright \ldots

называется производным рядом , или рядом коммутантов .

Для конечной группы производный ряд рано или поздно стабилизируется на ^* . Если эта группа тривиальна , исходная группа $G$ называется разрешимой . Для бесконечной группы производный ряд не обязательно стабилизируется за конечное число шагов, однако его можно доопределить при помощи трансфинитной индукции , получив трансфинитный производный ряд , который рано или поздно приведёт к совершенной группе.

Абелианизация

Факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы.

Факторгруппа группы $G$ по её коммутанту называется абелианизацией и обозначается символами $G_{ab}$ или $G^{ab}$ или $\operatorname {Ab} (G)$ .

Естественная проекция $G\to G^{ab}$ называется гомоморфизмом абелианизации и обозначается символом ${\rm {ab}}$ . Её ядро совпадает с коммутантом группы $G$ .

Взаимный коммутант

Взаимный коммутант подмножеств $L,M$ носителя группы $G$ — подгруппа $[L,M]$ , порождённая всеми коммутаторами вида $[l,m]\colon l\in L,m\in M$ . Взаимный коммутант нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.

Для произвольных элементов группы $g\in G$ имеет место следующее соотношение:

g[L,M]g^{-1}=[gLg^{-1},gMg^{-1}]

.

Коммутант кольца

Коммутант кольца $R$ (также — квадрат кольца ) — идеал , порождённый всеми произведениями: $\{ab\mid a,b\in R\}$ , обозначается $[R,R]$ или $R^{2}$ . Такое упрощение в сравнении с универсальным определением коммутанта возникает вследствие коммутативности аддитивной группы кольца — коммутатор элементов $r_{1},r_{2}\in R$ всегда обращается нуль, а условие относительно дополнительной сигнатуры (кольцевого умножения) выражается необходимостью включения в порождающее множество всех элементов следующего вида:

-r_{1}r_{2}-s_{1}s_{2}+(r_{1}+s_{1})(r_{2}+s_{2})=r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}

.

Примечания

В английском языке коммутант группы называется «коммутаторной подгруппой» — англ. commutator subgroup , поэтому возможна путаница с понятием коммутатора элементов группы .
Эту конструкцию не нужно путать с , который определяется как $G_{n}:=[G_{n-1},G]$ , а не $G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]$
В теории колец элементов называется другая комбинация: $[a,b]=ab-ba$ , а коммутаторным идеалом называют идеал (кольца, алгебры), порождённый всеми коммутаторами; в литературе иногда такой коммутаторный идеал тоже называют коммутантом кольца (алгебры).

Литература

А. Г. Курош . Группы с мультиоператорами // Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — М. : Наука, 1973. — С. 114—124. — 400 с. — 30 000 экз.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 5-е изд. — Лань, 2009. — 288 с. — ISBN 978-5-8114-0894-8 .
, Ремесленников В. Н. , Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .
И. М. Виноградов. Коммутант // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.) . — 1977—1985.

[1] В английском языке коммутант группы называется «коммутаторной подгруппой» — англ. commutator subgroup , поэтому возможна путаница с понятием коммутатора элементов группы .

[2] Эту конструкцию не нужно путать с , который определяется как $G_{n}:=[G_{n-1},G]$ , а не $G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]$

[3] В теории колец элементов называется другая комбинация: $[a,b]=ab-ba$ , а коммутаторным идеалом называют идеал (кольца, алгебры), порождённый всеми коммутаторами; в литературе иногда такой коммутаторный идеал тоже называют коммутантом кольца (алгебры).

Interested Article - Коммутант

Содержание