В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в теории кос . См. также глоссарий теории узлов . Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

А

Альтернированная диаграмма

, при движении вдоль каждой которой проходы чередуются с переходами. Или, что то же самое, диаграмма, любая которой является единичной длины.

Альтернированная коса

, имеющая .

Антье Деорнуа

Целочисленный , принимающий на данной ${\displaystyle \beta }$ из ${\displaystyle n}$ нитей такое значение ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ , что ${\displaystyle \Delta _{n}^{2p}\leqslant \beta <\Delta _{n}^{2(p+1)}}$ , где ${\displaystyle \Delta _{n}}$ — из того же числа нитей, а ${\displaystyle \leqslant }$ — . Антье Деорнуа косы ${\displaystyle \beta }$ обычно обозначается символами ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor _{\leqslant }}$ и ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor _{D}}$ .

Артиновское слово

Слово в алфавите из и их обратных . Представляет собой кодировку .

Также используются термины косо́вое слово , слово в группе кос и слово-коса .

Б

Бруннова коса

, которая становится при удалении любой её .

Г

Геометрическая коса

1. Такое непрерывное инъективное отображение ${\displaystyle f\colon [0,1]\times \{1,2,\ldots ,n\}\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ дизъюнктного объединения конечного числа ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ отрезков ${\displaystyle [0,1]}$ в подмножество трёхмерного евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , ограниченное двумя параллельными плоскостями ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ , что последняя координата образа каждой точки совпадает с её координатой на содержащем её отрезке, т. е. ${\displaystyle f(t,k)\in \mathbb {R} ^{2}\times \{t\}}$ , где ${\displaystyle t\in [0,1]}$ и ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ , причем функция ${\displaystyle f}$ отображает начало ${\displaystyle (0,k)}$ отрезка с номером ${\displaystyle k}$ в точку ${\displaystyle (k,0,0)}$ , а объединение концов ${\displaystyle (1,k)}$ таких отрезков — в множество ${\displaystyle \{(k,0,1)\mid k\in \{1,2,\ldots ,n\}\}}$ .

2. Образ подобного отображения. Иными словами, подмножество пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , гомеоморфное дизъюнктному объединению конечного числа ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ отрезков и пересекающее каждую плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{t\}}$ , где ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , по ровно ${\displaystyle n}$ точкам, причем пересечение с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ равно ${\displaystyle \{(k,0,0)\mid k\in \{1,2,\ldots ,n\}\}}$ , а пересечение с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ равно ${\displaystyle \{(k,0,1)\mid k\in \{1,2,\ldots ,n\}\}}$ .

Также используется термин геометрическая коса из ${\displaystyle n}$ нитей .

Группа кос

Группа ${\displaystyle B_{n}}$ , состоящая из из заданного числа ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ нитей с операцией . Её нейтральным элементом является из ${\displaystyle n}$ нитей.

Также используется термин группа кос Артина .

Группа кос топологического пространства

Фундаментальная группа ${\displaystyle B_{n}(M):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(M))}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ данного топологического пространства ${\displaystyle M}$ .

Группа крашеных кос

Подгруппа ${\displaystyle P_{n}}$ , состоящая из всех кос.

Также используется термин группа чистых кос .

Группа крашеных кос топологического пространства

Фундаментальная группа ${\displaystyle P_{n}(M):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(M))}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ данного топологического пространства ${\displaystyle M}$ .

Д

Движение Маркова

Один из двух определённых типов . Первое движение Маркова — . Второе движение Маркова — и дестабилизация .

Также используются термины марковское движение и преобразование Маркова .

Диаграмма

1. Подмножество евклидовой плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , получающееся из некоторой регулярной определёнными разрывами в её двойных точках . А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ которой имеет меньшую третью координату. Такую ветвь называют проход или нижняя ветвь , а оставшуюся — переход или верхняя ветвь .

2. Класс эквивалентности регулярных плоских проекций, где эквивалентными называются такие проекции, которые получаются друг из друга .

Также используется термин плоская диаграмма .

Дуга диаграммы

Компонента связности .

З

Задача распознавания

Задача разрешимости , заключающаяся в определении того, являются ли две заданные некоторым образом .

Закрученность

, принимающий на данной ${\displaystyle \beta }$ значение

${\displaystyle \omega (\beta ):=\lim \limits _{m\to \infty }{\frac {\lfloor \beta ^{m}\rfloor _{\leqslant }}{m}},}$

где ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor _{\leqslant }}$ — её .

Также используются термины коэффициент дробного скручивания Дена (от англ. fractional Dehn twist coefficient ), число переноса и число вращения .

Замкнутая коса

Класс эквивалентности всех относительно отношения .

Замыкание Александера

Определённое отображение из множества всех в множество зацеплений .

Зеркальный образ

1. , получающееся из данной заменой типов всех , т. е. заменой проходов на переходы и наоборот без изменения диаграммы.

2. , получающаяся из данной косы отражением относительно плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}\times [0,1]}$ .

Также используется термин зеркальное отражение .

И

Изотопность геометрических кос

Две из одинакового числа нитей называются изотопными , если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Существует , переводящая первую геометрическую косу во вторую.
• Между соответствующими отображениями ${\displaystyle f,g\colon [0,1]\times \{1,2,\ldots ,n\}\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ существует такая гомотопия ${\displaystyle F_{t}\colon [0,1]\times \{1,2,\ldots ,n\}\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , параметризованная числом ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , что ${\displaystyle F_{0}=f}$ , ${\displaystyle F_{1}=g}$ и для каждого ${\displaystyle t\in [0,1]}$ отображение ${\displaystyle F_{t}}$ является геометрической косой.
• Между соответствующими отображениями ${\displaystyle f,g\colon [0,1]\times \{1,2,\ldots ,n\}\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ существует такая гомотопия ${\displaystyle F_{t}\colon [0,1]\times \{1,2,\ldots ,n\}\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , параметризованная числом ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , что ${\displaystyle F_{0}=f}$ , ${\displaystyle F_{1}=g}$ и для каждого ${\displaystyle t\in [0,1]}$ отображение ${\displaystyle F_{t}}$ является инъективным, причем ${\displaystyle F_{t}(\{0\}\times \{1,2,\ldots ,n\})=\{(k,0,0)\mid k\in \{1,2,\ldots ,n\}\}}$ и ${\displaystyle F_{t}(\{1\}\times \{1,2,\ldots ,n\})=\{(k,0,1)\mid k\in \{1,2,\ldots ,n\}\}}$ .

Инвариант

Произвольная функция, действующая из множества . Или, что то же самое, функция, действующая из множества , принимающая одинаковые значения на элементах.

Инвариант конечного типа

Элемент определённого семейства .

Также используются термины инвариант конечного порядка , инвариант Васильева — Гусарова и инвариант Гусарова — Васильева .

К

Квазиположительная коса

, представимая в виде к положительным .

Компонента диаграммы

Объединение диаграммы, соответствующих некоторой косы.

Также используется термин нить диаграммы .

Конфигурационное пространство

1. Пространство упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек топологического пространства ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M):=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in M^{n}\mid x_{i}\neq x_{j}}$ для всех ${\displaystyle i\neq j\}}$ .

2. Пространство неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек топологического пространства ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M):=\operatorname {Conf} _{n}(M)/\sim }$ ,

где ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\sim (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ , если ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ .

Короткое замыкание

Определённое отображение из множества всех в множество зацеплений (от англ. short-circuit — короткое замыкание). Также используется термин замыкание Стенфорда — Мостового .

Коса

Класс эквивалентности по отношению .

Коэффициент зацепления

Целочисленная характеристика из ${\displaystyle n}$ нитей, заданная для таких ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ , что ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ , и равная разности между количеством положительных и отрицательных перекрёстков между нитями с номерами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ на любой этой косы. Является .

Крашеная коса

, начало и конец каждой её нити которой расположены на одном уровне . Или, что то же самое, коса, чья является тождественной .

Также используется термин чистая коса .

М

Минимальная коса

Коса, имеющая наименьшее число нитей среди всех кос, имеющих то же самое .

Мост диаграммы

Дуга , содержащая хотя бы один . Длина моста — количество перекрёстков, которое он содержит.

Моноид положительных кос

Моноид ${\displaystyle B_{n}^{+}}$ , состоящий из из заданного числа ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ нитей с операцией . Его нейтральным элементом является из ${\displaystyle n}$ нитей.

Н

Нить

1. Сужение данной на один из отрезков ${\displaystyle [0,1]\times \{k\}}$ .

2. Компонента связности геометрического представителя данной косы.

Начало нити — её точка пересечения с плоскостью ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ . Конец нити — её точка пересечения с плоскостью ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ . Номер нити — натуральное число ${\displaystyle k}$ такое, что её началом является точка ${\displaystyle (k,0,0)}$ .

Количество нитей косы, также известное как её индекс , является .

Также используется термин компонента косы .

О

Объемлющая изотопия

Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов ${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , параметризованное числом ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , что ${\displaystyle f_{0}}$ — тождественное отображение , а каждый гомеоморфизм ${\displaystyle f_{t}}$ тождествен на объединении ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}\cup \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2}\times [0,1])\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , заданное правилом ${\displaystyle (x,t)\mapsto f_{t}(x)}$ , является непрерывным .

Путь , заданный формулой ${\displaystyle t\mapsto f_{t}(x)}$ , называется траекторией движения точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ под действием объемлющей изотопии ${\displaystyle f_{t}}$ .

Говорят, что объемлющая изотопия переводит подмножество ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ в подмножество ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , если ${\displaystyle f_{1}(A)=B}$ .

Образующая Артина

1. с ${\displaystyle n}$ нитями, имеющая с ровно одним .

2. Аналогично определению выше, но перекрёсток предполагается положительным.

Символом ${\displaystyle \sigma _{i}}$ обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$ образуют положительный перекрёсток, а символом ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$ обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$ образуют отрицательный перекрёсток.

В случае кос ${\displaystyle \sigma _{i}}$ также используется термин положительная образующая Артина, а в случае кос ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$ — обратная или отрицательная образующая Артина. Также используются термины элементарная коса и артиновская образующая .

Образующая Маркова

из ${\displaystyle n}$ нитей, заданная для таких ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ , что ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ , следующим :

${\displaystyle A_{i,j}:=\sigma _{j-1}\sigma _{j-2}\ldots \sigma _{i+1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{i+1}^{-1}\ldots \sigma _{j-2}^{-1}\sigma _{j-1}^{-1}}$ .

Обратная коса

, получающаяся из данной косы отражением относительно плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{1/2\}}$ . Коса, обратная к косе ${\displaystyle \beta }$ , обозначается символом ${\displaystyle \beta ^{-1}}$ .

Однородная диаграмма

, заданная , в котором отсутствуют образующие Артина с одинаковыми индексами и противоположными типами: ${\displaystyle \sigma _{i}}$ и ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$ . Иными словами, словом, в которое образующие Артина входят с одним и тем же знаком (только положительным или только отрицательным).

Однородная коса

, имеющая .

П

Перекрёсток диаграммы

1. Участок , полученный в результате разрыва нижней ветви на маленькой окрестности некоторой двойной точки регулярной .

2. То же, что и двойная точка регулярной плоской проекции.

Каждый перекрёсток имеет один из двух типов. Положительный перекрёсток — такой, что его нижняя ветвь (проход) указывает налево от его верхней ветви (перехода) относительно ориентации нитей, ведущих от их начала к концу. Отрицательный перекрёсток — противоположное понятие.

положительный перекрёсток	отрицательный перекрёсток

Переключение перекрёстка

1. , заключающееся в смене типа некоторого (прохода на переход и наоборот).

2. , заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данной косы.

Также используются термины замена перекрёстка и переброска .

Перестановочная коса

, имеющая диаграмму, на которой любые две имеют не более одного общего .

Также используется термин приведённая коса .

Перестановка косы

Такая биекция ${\displaystyle \pi \colon \{1,2,\ldots ,n\}\to \{1,2,\ldots ,n\}}$ , что концом с номером ${\displaystyle k}$ некоторого данной является точка ${\displaystyle (\pi (k),0,1)}$ .

Также используются термины перестановка, соответствующая косе и перестановка, ассоциированная с косой .

Периодическая коса

, которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Она некоторой целой степени одной из кос ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1}}$ или ${\displaystyle \sigma _{1}(\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1})}$ , где ${\displaystyle n}$ — количество нитей .
• Некоторая её целая степень является целой степенью .

Плетёное замыкание

Определённое отображение из множества всех в множество зацеплений (от англ. plat — плетение).

Плоская изотопия

Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов ${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} \times [0,1]}$ , параметризованное числом ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , что ${\displaystyle f_{0}}$ — тождественное отображение , а каждый гомеоморфизм ${\displaystyle f_{t}}$ тождествен на объединении ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}\cup \mathbb {R} \times \{1\}}$ . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение ${\displaystyle (\mathbb {R} \times [0,1])\times [0,1]\to \mathbb {R} \times [0,1]}$ , заданное правилом ${\displaystyle (x,t)\mapsto f_{t}(x)}$ , является непрерывным .

Путь , заданный формулой ${\displaystyle t\mapsto f_{t}(x)}$ , называется траекторией движения точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \times [0,1]}$ под действием плоской изотопии ${\displaystyle f_{t}}$ .

Говорят, что плоская изотопия переводит подмножество ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} \times [0,1]}$ в подмножество ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} \times [0,1]}$ , если ${\displaystyle f_{1}(A)=B}$ .

Плоская проекция

Образ относительно ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} \times [0,1]}$ , заданной формулой ${\displaystyle (x,y,t)\mapsto (x,t)}$ .

Ветвь плоской проекции — её подмножество, являющееся образом связного подмножества геометрической косы.

Кратностью или порядком точки на плоской проекции называется мощность её прообраза относительно ортогональной проекции ${\displaystyle \pi }$ . Плоская проекция называется регулярной , если кратность каждой её точки не превосходит двух (т. е. равна единице или двойке), причем двойных точек (т. е. точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой трансверсальное пересечение.

Полигональная геометрическая коса

, являющаяся объединением конечного числа ломаных .

Положительная диаграмма

, каждый перекрёсток которой является положительным. Иными словами, диаграмма, заданная в положительных образующих Артина .

Положительная коса

, имеющая .

Положительная по Деорнуа диаграмма

, заданная таким непустым , что образующая Артина ${\displaystyle \sigma _{k}}$ с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом ${\displaystyle k}$ входит в него только в положительных степенях .

Также используются термины ${\displaystyle \sigma }$ -положительная диаграмма и D-положительная диаграмма .

Положительная по Деорнуа коса

, имеющая .

Также используются термины ${\displaystyle \sigma }$ -положительная коса и D-положительная коса .

Полный инвариант

, задающий на множестве кос инъективную функцию.

Порядок Деорнуа

Определённый левоинвариантный линейный порядок на ${\displaystyle B_{n}}$ из ${\displaystyle n}$ нитей . По определению, коса ${\displaystyle \alpha }$ меньше косы ${\displaystyle \beta }$ в порядке Деорнуа, что обозначается символом ${\displaystyle \alpha \leqslant \beta }$ , если либо ${\displaystyle \alpha =\beta }$ , либо коса ${\displaystyle \alpha ^{-1}\beta }$ является . Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: ${\displaystyle \alpha <\beta }$ .

Представление Бурау

Определённое линейное представление ${\displaystyle B_{n}}$ из ${\displaystyle n}$ .

^*

Определённое линейное представление ${\displaystyle B_{n}}$ из ${\displaystyle n}$ .

Преобразование геометрических кос

Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества в себя.

Преобразование диаграмм

Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества всех в себя. Обычно задаётся в терминах представляющих данные диаграммы .

Преобразование замкнутых кос

Произвольная геометрическая процедура, проводимая над представителями и задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества замкнутых кос в себя.

Преобразование кос

Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями и задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества кос в себя.

Произведение кос

Определённая бинарная операция на множестве всех из одинакового числа нитей . Произведением ${\displaystyle A,B\subset \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ из ${\displaystyle n}$ нитей называется геометрическая коса из ${\displaystyle n}$ нитей, состоящая из таких точек ${\displaystyle (p,t)}$ , что ${\displaystyle (p,2t)\in A}$ , если ${\displaystyle t\in [0,1/2]}$ , и ${\displaystyle (p,2t-1)\in B}$ , если ${\displaystyle t\in [1/2,1]}$ . Произведением кос ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ называется коса, заданная произведением любых их геометрических представителей, которая обозначается символом ${\displaystyle \alpha \beta }$ .

Р

Разводимая коса

, которая имеет , лежащего по разные стороны от некоторой полосы вида ${\displaystyle \{s+1/2\}\times \mathbb {R} \times [0,1]}$ , где ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ . Или, что то же самое, записывается , в котором хотя бы одна из образующих Артина отсутствует вместе со своей обратной.

Также используется термин расщепимая коса .

С

Соотношение Артина

Соотношение между из ${\displaystyle n}$ нитей, имеющее вид ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ , где ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n-2\}}$ .

Также используются термины соотношение кос , уравнение Артина , уравнение кос и уравнение Янга — Бакстера .

Соотношение дальней коммутативности

Соотношение между , имеющее вид ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$ , где ${\displaystyle |i-j|\geq 2}$ .

Два представляют в том и только в том случае, если одну можно получить из другой применением конечной последовательности таких соотношений.

Также используются термины дальняя коммутативность и соотношение коммутативности для отдалённых кос .

Сопряжение

, заключающееся в переходе от косы ${\displaystyle \beta }$ к косе ${\displaystyle \alpha \beta \alpha ^{-1}}$ , где ${\displaystyle \alpha }$ — некоторая коса с тем же числом нитей, а символ ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ обозначает . Также используется термин сопряжение косой ${\displaystyle \alpha }$ .

Косы называются сопряженными , если одну можно получить из другой сопряжением некоторой косой. Сопряженность — соответствующее отношение эквивалентности на множестве всех кос.

Также используются термины первое движение Маркова и первое преобразование Маркова .

Стабилизация

1. Определённое . Положительная стабилизация — переход от косы ${\displaystyle \beta }$ из ${\displaystyle n}$ нитей к косе ${\displaystyle \beta \sigma _{n}}$ из ${\displaystyle n+1}$ нитей, где ${\displaystyle \sigma _{n}}$ — . Отрицательная стабилизация — аналогичный переход от косы ${\displaystyle \beta }$ к косе ${\displaystyle \beta \sigma _{n}^{-1}}$ .

2. , заключающееся в применении одной из двух вышеуказанных операций к некоторой , представляющей данную .

Дестабилизация — обратное преобразование.

Т

Тензорное произведение кос

Определённая бинарная операция на множестве всех , заключающаяся в параллельном приставлении одной косы к другой . Тензорным произведением ${\displaystyle A,B\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times [0,1]}$ из ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ нитей, расположенных в ${\displaystyle [1,n]\times \mathbb {R} \times [0,1]}$ и ${\displaystyle [1,m]\times \mathbb {R} \times [0,1]}$ , называется геометрическая коса из ${\displaystyle n+m}$ нитей, состоящая из таких точек ${\displaystyle (x,y,t)}$ , что ${\displaystyle (x,y,t)\in A}$ , если ${\displaystyle x\in (-\infty ,n]}$ , и ${\displaystyle (x-n,y,t)\in B}$ , если ${\displaystyle x\in [n,+\infty )}$ . Тензорным произведением кос называется коса, заданная тензорным произведением любых их геометрических представителей с указанными выше свойствами.

Тень диаграммы

Образ ортогональной проекции, соответствующей .

Тривиальная коса

, которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Она имеет вида ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}\times \{0\}\times [0,1]}$ для некоторого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .
• Она имеет геометрического представителя, лежащего в полосе ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}\times [0,1]}$ .
• Она имеет с нулём .

Ф

Фундаментальная коса

из ${\displaystyle n}$ нитей, заданная следующим :

${\displaystyle \Delta _{n}:=(\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{1})(\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{2})\ldots (\sigma _{n-1}\sigma _{n-2})\sigma _{n-1}}$ .

Также используются термины полуоборот ${\displaystyle n}$ нитей , гарсайдовский элемент и элемент Гарсайда .

Ц

Центральная коса

${\displaystyle \Delta _{n}^{2}}$ из ${\displaystyle n}$ нитей, являющаяся квадратом .

Также используется термин полный оборот ${\displaystyle n}$ нитей .

Э

Экспоненциальная сумма

Целочисленная характеристика , равная разности между количеством положительных и отрицательных на любой этой косы. Является .

Элементарная изотопия

, заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка) ${\displaystyle AB}$ на два звена ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle CB}$ , а также обратное преобразование, осуществляемое при условии, что треугольник ${\displaystyle ABC}$ не пересекает остальные звенья полигональной косы по своей внутренности или границе .

Также используется термин элементарное преобразование .

Примечания

Литература

• Кассель, К. , Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Сосинский, А. Б. (рус.) . — М. : МЦНМО , 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6 .
• Прасолов, В. В. , Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .
• Сосинский, А. Б. (рус.) . — М. : МЦНМО , 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0 .
• Мантуров, В. О. . Теория узлов (рус.) . — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3 .
• Матвеев, С. В. , Фоменко, А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии (рус.) . — 2. — М. : Наука , 1998. — 304 с. — (Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения). — ISBN 5-02-013655-7 .
• Звонкин, А. К. , Ландо, С. К. Графы на поверхностях и их приложения (рус.) . — М. : МЦНМО , 2010. — 480 с. — ISBN 978-5-94057-588-7 .

Ссылки

• Мантуров, В. О. . // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО , 2010. — Т. 3 , вып. 14 . — С. 107—142 . — ISBN 978-5-94057-597-9 .
• Малютин, А. В. . // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2019. — Т. 305 . — С. 197—210 . — doi : .
• Малютин, А. В. . // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16 , вып. 5 . — С. 59—91 .
• Малютин, А. В. , Нецветаев, Н. Ю. . // Алгебра и анализ. — 2003. — Т. 15 , вып. 3 . — С. 170—187 .
• Малютин, А. В. . // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21 , вып. 2 . — С. 113—135 .
• Дужин, С. В. // Алгебра и анализ. — 2011. — Т. 23 , вып. 3 . — С. 175—188 .
• Artin, E. . (англ.) // Annals of Mathematics . — Princeton University and the Institute for Advanced Study , 1947. — Vol. 48 , no. 1 . — P. 101–126 . — ISSN . — doi : .