Многообра́зие ( топологическое многообразие ) — локально евклидово пространство .

Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли : возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например, карту полушария, но невозможно составить единую (плоскую и без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли . Тем не менее первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия , то есть те, на которых есть выделенный класс гладких функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика .

В классической механике основным многообразием является фазовое пространство . В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени .

Определения

В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 29 марта 2017 )

${\displaystyle n}$ -мерное топологическое многообразие без края — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную открытому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , то есть ${\displaystyle n}$ -мерному евклидову пространству .

${\displaystyle n}$ -мерное топологическое многообразие ^{[ уточнить ]} — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой , в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству замкнутого полупространства в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (считаем открытыми также объединения открытых подмножеств с пересечением их границы и граничной гиперплоскости).

• Точки, которые имеют открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , называются внутренними , а множество всех таких точек — внутренность многообразия (это всегда непустое множество).
• Дополнение к внутренности называется краем , это — ${\displaystyle (n-1)}$ -мерное многообразие без края.

Особенности определения

• Условие счётности базы эквивалентно тому, что многообразие вкладывается в евклидово пространство конечной размерности (то, что такое вложение существует, подтверждает теорема Уитни о вложении ).
• Иногда вместо условия счётности базы используется более слабое условие паракомпактности пространства .
• Введённое здесь понятие края вовсе не равносильно понятию относительной границы в общей топологии.
• Требование хаусдорфовости может показаться излишним; пример пространства, которое локально гомеоморфно евклидовому, но при этом не хаусдорфово, можно построить склеиванием двух копий вещественной прямой по всем точкам, кроме одной.

Гладкие многообразия

Гладкая структура, определённая ниже, обычно возникает в почти всех приложениях и при этом делает многообразие гораздо удобней в работе.

Для топологического многообразия ${\displaystyle M}$ без границы картой называется гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ из открытого множества ${\displaystyle U\subset M}$ на открытое подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Набор карт , покрывающих всё ${\displaystyle M}$ , называется атласом .

Если две карты ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ накрывают одну точку в ${\displaystyle M}$ , то их композиция ${\displaystyle \varphi \circ \psi ^{-1}}$ задаёт отображение «склейки» из открытого множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в открытое множество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Если все отображения склейки из класса ${\displaystyle C^{k}}$ (то есть ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемых функций), то атлас называется ${\displaystyle C^{k}}$ атласом (можно также рассматривать ${\displaystyle k=\infty }$ или ${\displaystyle \omega }$ , что соответствует бесконечно дифференцируемым и аналитическим склейкам).

Пример: сфера может быть покрыта ${\displaystyle C^{\infty }}$ - атласом из двух карт на дополнениях северного и южного полюсов со стереографическими проекциями по отношению к этим полюсам.

Два ${\displaystyle C^{k}}$ атласа задают одну ${\displaystyle C^{k}}$ -гладкую структуру, если их объединение является ${\displaystyle C^{k}}$ - атласом .

Для таких многообразий можно ввести понятия касательного вектора , касательного и кокасательного пространств и расслоений .

Для заданной ${\displaystyle C^{1}}$ -гладкой структуры можно найти ${\displaystyle C^{\infty }}$ -гладкую структуру, задаваемую новым ${\displaystyle C^{\infty }}$ - атласом , который задаёт ту же ${\displaystyle C^{1}}$ -гладкую структуру. Более того, все такие полученные таким образом многообразия являются ${\displaystyle C^{\infty }}$ -диффеоморфными. Поэтому часто под гладкой структурой понимают ${\displaystyle C^{1}}$ -гладкую структуру.

Не каждое топологическое многообразие допускает гладкую структуру. Примеры таких «шершавых» многообразий появляются уже в размерности четыре. Также существуют примеры топологических многообразий, которые допускают несколько различных гладких структур. Первый такой пример нестандартной гладкой структуры, так называемая сфера Милнора , был построен Милнором на семимерной сфере.

Примеры

• Простейший пример многообразия — это пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )}$
• Окружность — это многообразие размерности 1. Вообще любой несамопересекающийся контур можно рассматривать как одномерное многообразие. Отметим, что для негладкого контура соответствующее отображение вложения в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ не будет отображением гладких многообразий.
• — это .
• Любая двумерная поверхность без края является примером двумерного многообразия ( сфера , тор , крендель , …). По известной топологической классификационной теореме, любое ориентируемое двумерное многообразие имеет вид сферы с несколькими приклеенными ручками.
• Лента Мёбиуса — это пример двумерного неориентируемого многообразия с краем. Пример неориентируемого двумерного многообразия без края — проективная плоскость (многообразие прямых в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ). Отметим, что его невозможно вложить в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .
• Все указанные выше примеры многообразий можно наделить единственным образом гладкой структурой. В более высоких размерностях возможны, однако, разные гладкие структуры на одном и том же топологическом многообразии.
• Нетривиальные примеры многообразий любой размерности — проективные пространства ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ (многообразие прямых в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ) и грассмановы многообразия ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,n)}$ (многообразие ${\displaystyle k}$ -мерных подпространств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ).

Типы многообразий

• Замкнутое многообразие — компактное связное многообразие без края. Примеры: окружность , сфера , тор , бутылка Клейна .
• Открытое многообразие — некомпактное связное многообразие без края. Примеры: Евклидово пространство .

Классификация многообразий

Каждое связное одномерное многообразие без границы гомеоморфно вещественной прямой или окружности. ^{[ источник не указан 1715 дней ]}

Гомеоморфный класс замкнутой связной поверхности задаётся её эйлеровой характеристикой и ориентируемостью (если поверхность ориентируема, то это сфера с ручками , если нет, то связная сумма нескольких копий проективной плоскости ).

Классификация замкнутых трёхмерных многообразий следует из гипотезы Тёрстона , которая была недавно доказана Перельманом .

Если размерность больше трёх, то классификация невозможна; более того, невозможно построить алгоритм, который определяет, является ли многообразие односвязным . Тем не менее, существует классификация всех односвязных многообразий во всех размерностях ≥ 5.

Можно также классифицировать гладкие многообразия.

• В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных многообразий является также диффеоморфной.
• В размерности 4 существуют примеры замкнутых многообразий, которые допускают бесконечное число неэквивалентных гладких структур, а открытые многообразия, как, например, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ , допускают континуум различных гладких структур.
• В размерностях 5 и выше любое топологическое многообразие допускает не более чем конечное число неэквивалентных гладких структур.

Дополнительные структуры

Часто гладкие многообразия оснащают дополнительными структурами. Вот список наиболее часто встречаемых дополнительных структур:

• Метрический тензор
• Симплектическая форма

Вариации и обобщения

• Орбиобразие
• Псевдомногообразие

См. также

• Алгебраическое многообразие

Примечания

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М. : Наука , 1986. — 760 с.