Функция Морса ― гладкая функция на многообразии , имеющая невырожденные критические точки .

Функции Морса возникают и используются в теории Морса , одном из основных инструментов дифференциальной топологии .

Определение

Пусть ${\displaystyle W}$ ― гладкое многообразие , край которого ${\displaystyle \partial W}$ является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий ${\displaystyle F_{0}}$ и ${\displaystyle F_{1}}$ . Функция Морса триады ${\displaystyle (W;F_{0},F_{1})}$ ― такая гладкая класса ${\displaystyle C^{2}}$ функция ${\displaystyle f:W\to [a,b]}$ , ${\displaystyle -\infty <a,b<+\infty }$ (или ${\displaystyle f:W\to [a,\infty ]}$ ) при ${\displaystyle F_{1}=\varnothing }$ , что:

1. ${\displaystyle F_{0}=f^{-1}(a),F_{1}=f^{-1}(b),}$
2. все критические точки функции ${\displaystyle f}$ лежат в ${\displaystyle W\backslash \partial W=f^{-1}(a,b)}$ и невырождены.

Свойства

• Если многообразие ${\displaystyle W}$ конечномерно, то для ${\displaystyle k\geqslant 2}$ множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности.
• В пространстве всех ${\displaystyle C^{k}}$ -гладких ( ${\displaystyle k\geqslant 2}$ ) функций

  ${\displaystyle f:(W,F_{0},F_{1})\to ([a,b],a,b)}$

множество функций Морса является плотным открытым множеством .

Вариации и обобщения

Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора ) многообразия . При этом требуется дополнительное условие:

• (условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве ${\displaystyle K\subset W}$ , где функция ${\displaystyle f}$ ограничена, а нижняя грань функции ${\displaystyle |df(x)|}$ равна нулю, существует критическая точка функции ${\displaystyle f}$ .

Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.

В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра

См. также

• Граф Риба

Примечания