Число отрезков — инвариант узла , определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяясь конец к концу, образуют узел. Говоря более строго, числом отрезков геометрического узла ${\displaystyle K}$ называется число звеньев в минимальной по числу звеньев ломаной , лежащей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}\cong S^{3}}$ и объемлюще-изотопной геометрическому узлу ${\displaystyle K}$ . Данная функция на множестве всех геометрических узлов по определению постоянна на объемлюще-изотопических классах геометрических узлов, а значит можно говорить о числе отрезков как об инварианте узла. Число отрезков узла ${\displaystyle K}$ обозначается через ${\displaystyle {\textrm {stick}}(K)}$ .

Известные значения

Наименьшее число отрезков для нетривиального узла равно ${\displaystyle 6}$ . Число отрезков, как и прочие меры сложности узлов , трудновычислимы, поэтому известно не так много точных значений . В 1997 году Гё Тэк Чин определил число отрезков торического узла ${\displaystyle {\textrm {T}}(p,q)}$ для близких ${\displaystyle p\,{\text{и}}q}$ :

• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(p,q))=2q}$ , если ${\displaystyle 2\leqslant p<q\leqslant 2p}$ ,
• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r))=3r}$ , если ${\displaystyle r\geqslant 1}$ ,
• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,2r))=4r-1}$ , если ${\displaystyle r\geqslant 1}$ .

Подобный результат, но для меньшей области параметров, примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая . Им, например, удалось доказать, что:

• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r-1))=2r}$ , если ${\displaystyle r\geqslant 2}$ .

Если ${\displaystyle K^{n}}$ — произвольная связная сумма, состоящая из ${\displaystyle n}$ трилистников (не обязательно только левых или только правых), то :

${\displaystyle {\text{stick}}(K^{n})=2n+4}$ .

Оценки

Число отрезков связной суммы узлов ограничено сверху суммой чисел отрезков слагаемых, а более точно :

${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leqslant {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3}$ .

Если ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ — взаимно простые целые числа, причем ${\displaystyle 2\leqslant r<s}$ , то :

${\displaystyle {\text{stick}}({\textrm {T}}(r,s))\geqslant {\text{min}}\{4r,2s\}}$ .

Связанные инварианты

Число отрезков узла ${\displaystyle K}$ связано с его числом перекрёстков ${\displaystyle {\textrm {cr}}(K)}$ следующим неравенством :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\textrm {cr}}(K)+1}})\leqslant {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}({\textrm {cr}}(K)+1)}$ .

Примечания

Литература

• Adams C. C. (англ.) . — New York: American Mathematical Society , 2004. — 307 p. — ISBN 978-0821836781 .

• Adams C. C., Flapan, E., Henrich, A., Kauffman, L. H., Ludwig, L. D., Nelson, S. (англ.) . — Chapman and Hall/CRC, 2020. — 954 p. — ISBN 978-1138297845 .

• Adams C. C., Brennan B. M., Greilsheimer D. L., Woo A. K. (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Vol. 6 , iss. 2 . — P. 149—161 . — doi : .

• Calvo J. A. (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2001. — Vol. 10 , iss. 2 . — P. 245—267 . — doi : .
• Jin G. T. (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Vol. 6 , iss. 2 . — P. 281—289 . — doi : .

• Negami S. (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society . — 1991. — Vol. 324 , iss. 2 . — P. 527—541 . — doi : .

• Huh Y., Oh S. (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2011. — Vol. 20 , iss. 5 . — P. 741—747 . — doi : .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• « », KnotPlot Research and Development Site .
• Adams C. C. // Plus Magazine. — 2005.