Interested Article - Дифференциальное уравнение

Визуализация воздушного потока, рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса
Визуализация теплообмена в корпусе насоса, созданная путём решения уравнения теплопроводности
График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Дифференциа́льное уравне́ние уравнение , которое помимо функции содержит её производные . Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, не является дифференциальным уравнением .

Дифференциальные уравнения являются частным случаем функциональных уравнений. В отличие от алгебраических уравнений , в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения .

Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных .

Терминология и классификация

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок входящих в него производных.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения . Так, например, уравнение является уравнением второго порядка, четвёртой степени .

Решением ( интегралом ) дифференциального уравнения порядка называется функция , имеющая на некотором интервале производные до порядка включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием . Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре (то есть к виду , где — элементарная функция), независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента , и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы .

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных .

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Рудольфом Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана Софьей Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределённых функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и так далее.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести дифференциальных уравнений.

История

Исаак Ньютон
Готфрид Лейбниц
Леонард Эйлер
Жозеф-Луи Лагранж
Пьер-Симон Лаплас
Жозеф Лиувилль
Анри Пуанкаре
Софья Ковалевская

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики , в которых требовалось определить координаты тел , их скорости и ускорения , рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n -мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли ) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии . Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем , сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

или

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция ; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной штрих означает дифференцирование по Число называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах , уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции и определены и непрерывны в некоторой области .

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные . Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где — независимые переменные, а — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные . Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:

где p i ( x ) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r ( x ) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами .

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r ( x ) = 0 . Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции : линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями .

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, нелинейное уравнение математического маятника в случае малых амплитуд, когда sin y y , может рассматриваться как линейное уравнение гармонического осциллятора

Примеры

  • — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
  • Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения где m — масса тела, x — его координата, F ( x , t ) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
  • Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются так называемые цилиндрические функции функции Бесселя , Неймана, Ганкеля .
  • Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y .

  • Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
  • Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t , а параметр a задаёт свойства струны:
  • Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

Важнейшие дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения в частных производных

См. также

Программное обеспечение

  • Maple : dsolve
  • SageMath
  • : desolve(y'=k*y, y)
  • Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]

Примечания

  1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971, стр. 16
  2. Алибеков И. Ю . . — МГИУ, 2008. — С. 180. — 221 с. — ISBN 9785276014623 .
  3. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1988. — 686 с.
  4. . www.maplesoft.com. Дата обращения: 12 мая 2020. 23 ноября 2013 года.
  5. . doc.sagemath.org. Дата обращения: 12 мая 2020. 14 января 2020 года.
  6. [Symbolic algebra and Mathematics with Xcas ] .

Литература

Энциклопедии и справочники

  • Дифференциальные уравнения // Дебитор — Евкалипт. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — ( Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 8).
  • : [ 10 ноября 2014 ] / И. П. Макаров // Математическая энциклопедия : в 5 т. / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д’Аламбера оператор — Кооперативная игра. — 552 с. — 1104 стб.
  • Зайцев В. Ф. , Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит , 2001.
  • Зайцев В. Ф. , Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
  • Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
  • Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
  • Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
  • Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

Учебники

  • Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
  • Диесперов В. Н. Лекции по дифференциальным уравнениям [текст]: учеб. пос. — М.: МФТИ, 2017. 242 с. ISBN 978-5-7417-0630-5 .
  • Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
  • Полянин А. Д. , Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
  • Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
  • Тихонов А. Н. , Васильева А. Б. , Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
  • Умнов А. Е. , Умнов Е. А. (pdf) (на портале автора)
  • Филиппов А. Ф. . — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160 .
  • Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М. : , 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7 .
  • Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

Задачники

  • Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 3-е изд. — М.: Высшая школа, 1978.
  • Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1989.
  • Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

Ссылки

Источник —

Same as Дифференциальное уравнение