Гомологическая зеркальная симметрия — математическая гипотеза , высказанная Максимом Концевичем . Она возникла как попытка выявить математическую природу явления, впервые замеченного физиками в теории струн .

История

В послании к Международному математическому конгрессу 1994 года в Цюрихе Концевич предположил, что зеркальная симметрия для пары многообразий Калаби-Яу X и Y может быть объяснена как эквивалентность , полученной методами алгебраической геометрии ( когерентных пучков на X ) и другой триангулированной категории, строящейся с помощью симплектической геометрии (производной на Y ).

Эдвард Виттен изначально описал топологическое твистование N=(2,2) суперсимметричной теории поля в том, что он назвал A- и B-моделями . В этих моделях рассматриваются отображения римановых поверхностей в так называемые — обычно это многообразия Калаби-Яу. Большинство математических предсказаний зеркальной симметрии укладываются в рамки известной из физики эквивалентности A-модели на Y и B-модели на зеркальном ему X . Римановы поверхности, являющиеся многообразиями без края, могут быть мировой поверхностью (worldsheet) замкнутой струны. Чтобы описать случай открытых струн, дополнительно нужно задать граничные условия, притом сохраняющие суперсимметрию. В A-модели эти граничные условия имеют форму подмногообразий Y с некоторой дополнительной структурой (называемой иногда структурой браны). В B-модели эти граничные условия имеют форму голоморфности подмногообразий X с наличием голоморфного векторного расслоения на них. Эти объекты и используются для построения описываемых триангулированных категорий. Они называются A- и B- бранами соответственно. Морфизмы в этих категориях — все безмассовые открытые струны, натянутые между двумя бранами.

Для замкнутых струн A- и B-модели охватывают только топологический сектор — малую часть всей теории струн. Аналогично, браны в этих моделях являются лишь топологическими приближениями к полному динамическому объекту — D-бранам . Так или иначе, математика даже в этом малом секторе теории струн и глубока и трудна.

Примеры

Математикам удалось проверить эту гипотезу только на нескольких примерах. В своём изначальном послании Концевич упомянул, что гипотеза может быть доказана для эллиптических кривых с использованием тета-функций . Следуя этому предложению, и еще один математик представили доказательство этой гипотезы для эллиптических кривых. привёл фрагменты доказательства для абелевых многообразий . Позже, Концевич и предоставили доказательство существенной части обсуждаемой гипотезы для неособых над аффинными многообразиями , используя идеи SYZ-гипотезы . В 2003 Пол Сайдел доказал гипотезу для .

Ромб Ходжа

Нижеприведённую таблицу называют ромбом Ходжа. Здесь h ^{p , q} — размерности пространств ( p , q )-дифференциальных форм — расположены так, чтобы координаты ( p , q ) образовывали стороны ромба. В трёхмерном случае p и q пробегают целые значения от нуля до тройки, и ромб Ходжа, к примеру, для комплексно двумерного многообразия выглядит так:

                 h2,2         
          h2,1          h1,2
    h2,0         h1,1         h0,2
          h1,0          h0,1
                 h0,0

В случае эллиптической кривой , которая является комплексно одномерным многообразием Калаби-Яу, ромб Ходжа особенно прост:

          1
     1         1
          1

В случае K3-поверхности , которая является комплексно двумерным многообразием Калаби-Яу, коль скоро её числа Бетти {1, 0, 22, 0, 1}, ромб Ходжа выглядит так:

                1
          0          0
     1         20         1
          0          0
                1

Многообразия Калаби-Яу комплексной размерности три являются первым нетривиальным примером зеркальной симметрии. Зеркально симметричные друг другу пары (назовём их M и W) отображаются друг в друга при симметрии относительно вертикальной прямой.

Ромб Ходжа многообразия M :

                   1
             0          0
        0          a         0
   1         b          b         1
        0          a         0
             0          0
                   1

Ромб Ходжа многообразия W :

                   1
             0          0
        0          b         0
   1         a          a         1
        0          b         0
             0          0
                   1

M и W соответствуют A- и B-моделям в теории струн. Зеркальная симметрия не просто переставляет числа Бетти, она переставляет симплектическую и зеркально симметричных многообразий. В этом суть гомологической зеркальной симметрии.

См. также

• Теория категорий

Ссылки

• Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry , arXiv : .
• Kontsevich, Maxim; (2000), Homological Mirror Symmetry and torus fibrations , arXiv : .
• Seidel, Paul (2003), Homological mirror symmetry for the quartic surface , arXiv : .
• Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002), Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system , arXiv :