Неприводимое представление ${\displaystyle (\rho ,V)}$ алгебраической структуры ${\displaystyle A}$ — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления ${\displaystyle (\rho |_{W},W),W\subset V}$ , замкнутого по ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$ .

Любое конечномерное на эрмитовом векторном пространстве ${\displaystyle V}$ является прямой суммой неприводимых представлений. Поскольку неприводимые представления всегда неразложимы (то есть не могут быть разложены далее на прямую сумму представлений), эти термины часто путаются. Однако, в общем случае, существует много приводимых, но неразложимых представлений, таких как двумерное представление вещественных чисел, действующее посредством верхних треугольных унипотентных матриц.

История

Теорию представления групп обобщил Ричард Брауэр в 1940-х годах, дав , в которой матричные операции действуют на векторном пространстве над полем ${\displaystyle K}$ с произвольной характеристикой , а не векторное пространство над полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел . Структура, аналогичная неприводимому представлению в получающейся теории, — это простой модуль .

Обзор

Пусть ${\displaystyle \rho }$ будет представлением, то есть гомоморфизмом ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ группы ${\displaystyle G}$ , где ${\displaystyle V}$ является векторным пространством над полем ${\displaystyle F}$ . Если мы выберем базис ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle V}$ , ${\displaystyle \rho }$ можно считать функцией (гомоморфизмом) из группы в множество обратимых матриц и в этом контексте представление называется матричным представлением . Однако всё сильно упрощается, если мы рассматриваем пространство ${\displaystyle V}$ без базиса.

Линейное подпространство ${\displaystyle W\subset V}$ называется ${\displaystyle G}$ -инвариантом , если ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ для всех ${\displaystyle g\in G}$ и всех ${\displaystyle w\in W}$ . сужение ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle G}$ -инвариантное подпространство ${\displaystyle W\subset V}$ известно как подпредставление . Говорят, что представление ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ неприводимо , если оно имеет лишь тривиальные подпредставления (все представления могут образовать подпредставление с тривиальными ${\displaystyle G}$ -инвариантными подпредставлениями, например, со всем векторным пространством ${\displaystyle V}$ и {0} ). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство ${\displaystyle \rho }$ , говорят, что представление приводимо .

Обозначения и терминология представления групп

Элементы группы могут быть представлены матрицами , хотя термин «представлена» имеет специфичное и точное значение в данном контексте. Представление группы — это отображение из элементов группы в полную линейную группу матриц. Пусть a , b , c ... означают элементы группы G с групповым произведением, которое не отражается каким-либо символом, то есть ab является групповым произведением a и b , которое также является элементом группы G . Пусть представления обозначаются буквой D . Представление элемента a записывается как

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

По определению представлений групп представление группового произведения переводится в умножение матриц представлений:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Если e является нейтральным элементом группы (так, что ${\displaystyle ae=ea=a}$ ), то D ( e ) является единичной матрицей , поскольку мы должны иметь

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

и то же самое для других элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D было гомоморфизмом групп .

Разложимые и неразложимые представления

Представление разложимо, если подобная матрица P может быть найдена для преобразования подобия :

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P}$ ,

которая диагонализирует любую матрицу в представлении в диагональные блоки — каждый из блоков является представлением группы независимо друг от друга. Говорят, что представления D ( a ) и D′ ( a ) эквивалентны . Представление может быть разложено в прямую сумму k матриц :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)}$ ,

так что D ( a ) является разложимой и обычно метки у матриц разложения пишутся в скобках, как D ^{( n )} ( a ) для n = 1, 2, ..., k , хотя некоторые авторы пишут числовые метки без скобок.

Размерность D ( a ) равна сумме размерностей блоков:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)]}$

Если это невозможно, то есть ${\displaystyle k=1}$ , то представление неразложимо .

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Все группы ${\displaystyle G}$ имеют одномерное неприводимое тривиальное представление. Более обще, любое одномерное представление является неприводимым ввиду отсутствия собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно описать с помощью результатов из теории характеров . В частности, все такие представления разложимы в прямую сумму неприводимых представлений и число неприводимых представлений группы ${\displaystyle G}$ равно числу классов сопряжённости ${\displaystyle G}$ .

• Неприводимые комплексные представления ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ в точности задаются отображениями ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$ , где ${\displaystyle \gamma }$ является ${\displaystyle n}$ -м корнем из единицы .

• Пусть ${\displaystyle V}$ будет ${\displaystyle n}$ -мерным комплексным представлением ${\displaystyle S_{n}}$ с базисом ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$ . Тогда ${\displaystyle V}$ разлагается как прямая сумма неприводимых представлений

${\displaystyle V_{triv}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$

и ортогональное подпространство задаётся формулой:

${\displaystyle V_{std}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$

Первое неприводимое представление является одномерным и изоморфен тривиальному представлению ${\displaystyle S_{n}}$ . Второе является ${\displaystyle n-1}$ мерным и известно как стандартное представление ${\displaystyle S_{n}}$ .

• Пусть ${\displaystyle G}$ — группа. группы ${\displaystyle G}$ является свободным комплексным векторным пространством с базисом ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ с групповым действием ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$ , обозначаемым как ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ Все неприводимые представления ${\displaystyle G}$ появляются в разложении ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ как прямая сумма неприводимых представлений.

Приложения в теоретической физике и химии

В квантовой механике и квантовой химии каждое множество вырожденных собственных состояний гамильтонова оператора составляет векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплет», который лучше всего изучается через сведение к неприводимым частям. Обозначения неприводимых представлений поэтому позволяет назначить метки состояниям и предсказать, как они при возмущении или перейдут в другое состояние в V . Таким образом, в квантовой механике, неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью определяют метки уровням энергии системы, что позволяет определить правила отбора .

Группы Ли

Группа Лоренца

Неприводимые представления D ( K ) и D ( J ) , где J является генератором вращений, а K является генератором бустов , могут быть использованы для построения группы Лоренца , поскольку они связаны со квантовой механики . Это позволяет использовать их для вывода .

См. также

Ассоциативная алгебра

• Простой модуль
• Неразложимый модуль

Группы Ли

• Представление алгебры Ли

Примечания

Литература

Литература для дальнейшего чтения

• Artin, Michael (неопр.) (1999). Дата обращения: 20 марта 2019. 24 февраля 2021 года.

Ссылки

• (неопр.) . Дата обращения: 20 марта 2019. 4 августа 2016 года.
• van Beveren, Eef (неопр.) (2012). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано из 20 мая 2011 года.
• Teleman, Constantin (неопр.) (2005). Дата обращения: 20 марта 2019. 21 сентября 2019 года.
• Finley (неопр.) . (недоступная ссылка)
• Hunt (неопр.) (2008). Дата обращения: 20 марта 2019. 15 февраля 2020 года.
• Dermisek, Radovan (неопр.) (2008). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано из 23 ноября 2018 года.
• Maciejko, Joseph (неопр.) (2007). Дата обращения: 20 марта 2019. 25 октября 2017 года.
• Woit, Peter (неопр.) (2015). Дата обращения: 20 марта 2019. 30 марта 2019 года. , см. главу 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Guild, David; Turetsky, Emma (неопр.) (2009). Дата обращения: 20 марта 2019. 29 августа 2017 года.
• Finley (неопр.) . Архивировано из 17 июня 2012 года.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "The unitary representations of the Poincaré group in any spacetime dimension". arXiv : .
• (неопр.) . Дата обращения: 20 марта 2019. 3 марта 2016 года.