Interested Article - Симплектическое многообразие

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой , то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой .

Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение . Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если конфигурационное пространство механической системы, то — соответствующее ему фазовое пространство .

Определение

Дифференциальная 2-форма называется симплектической структурой , если она невырождена и замкнута , то есть её внешняя производная равна нулю,

и для любого ненулевого касательного вектора найдётся вектор такой, что

Многообразие с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием .

Замечания

  • Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
  • Если размерность равна , то невырожденость формы эквивалентна условию .

Связанные определения

  • Диффеоморфизм симплектических многообразий называется симплектоморфизмом , если он сохраняет симплектическую структуру.
  • Пусть — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции векторное поле , определяемое следующим тождеством:
    • Это определение аналогично определению градиента и иногда называется симплектическим градиентом функции .
    • Поле , которое можно получить таким образом называется гамильтоновым .
    • В силу невырожденности формы векторное поле определено однозначно. В координатах Дарбу это отображение принимает вид
соответствующий уравнениям Гамильтона , при этом называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

Свойства

  • Теорема Дарбу : все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу , в которых симплектическая форма имеет вид
При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу .
  • Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру (следует из формулы Картана):
Здесь производная Ли по векторному полю . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура

С каждым симплектическим -мерным многообразием каноническим образом связано -мерное контактное многообразие , называемое его контактизацией . Обратно, для любого -мерного контактного многообразия существует его симплектизация , являющаяся -мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Многообразие называется мультисимплектическим степени , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k -форма.

См. также

Ссылки

  • Д. В. Аносов . «О развитии теории динамических систем».
  • 2013

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. ISBN 5-354-00341-5 .
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
  • Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К. : TIMPANI, 2004. — 1040 с.
  • Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М. : Изд. МГУ, 1988. — 414с.
Источник —

Same as Симплектическое многообразие