Симплекти́ческое пространство
— это
векторное пространство
S
с заданной на нём
симплектической формой
, то есть
билинейной
кососимметрической невырожденной
2-формой
:
-
-
-
Симплектическая форма обычно обозначается
. В отличие от формы
скалярного произведения
, для которой
-
,
для симплектической формы всегда
Связанные определения
-
Линейное преобразование
L
симплектического пространства называется
симплектическим
, если оно сохраняет симплектическую форму:
-
-
Множество всех симплектических преобразований пространства
S
образует
группу
, называемую
симплектической группой
и обозначаемую
Sp(S)
.
-
Матрица
симплектического преобразования называется
симплектической матрицей
.
-
Подпространство
s
симплектического пространства
S
называется
симплектическим
, если ограничение симплектической формы на
s
невырождено.
-
Два вектора
называются
косоортогональными
, если
-
-
Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.
-
Косоортогональным дополнением
подпространства
называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из
.
Каноническая структура
Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически
изоморфны
. Эти факты следуют из
теоремы
Дарбу
для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор
. В силу невырожденности
существует такой вектор
, что
-
Рассмотрим косоортогональное дополнение к
линейной оболочке
V
векторов
и
. Можно показать, что это будет (2
n
-2)-мерное подпространство
S
, не пересекающееся c
V
, причём ограничение
на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором
заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим
базис
-
,
такой что
-
где
—
символ Кронекера
. Он называется
каноническим базисом
или
базисом Дарбу
.
В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид
-
где
—
единичная матрица
порядка
n
.
является симплектической матрицей.
Строение подпространств
Рассмотрим подпространство
и его косоортогональное дополнение
. В силу невырожденности
:
-
Кроме того,
-
В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:
-
Симплектические
:
. Это верно тогда и только тогда, когда ограничение
на
W
невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу
W
имеет вид
-
-
Изотропные
:
. Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда
тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу
W
имеет вид
-
.
-
Коизотропные
:
.
W
коизотропно тогда и только тогда, когда
невырождена на факторпространстве
. Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу
W
имеет вид
-
-
Лагранжевы
:
.
W
лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу
W
имеет вид
-
Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2
n
образует
многообразие
, называемое
. Оно
диффеоморфно
многообразию
смежных классов
унитарной группы
по
ортогональной подгруппе
, при этом
-
Примеры
-
В комплексном пространстве
можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле
-
-
где
—
эрмитова форма
. Эта форма задаёт симплектическую структуру на
пространства
.
-
Для любого пространства
V
существует каноническая симплектическая структура на пространстве
, где
—
сопряжённое
к
V
пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в
V
и сопряжённых к ним по формуле
-
-
-
и продолжается на все остальные векторы по линейности.
См. также
Литература
-
Арнольд В. И., Гивенталь А. Б.
. — 2-ое изд.. — Ижевск: РХД, 2000. — 168 с. —
ISBN 5-7029-0331-5
.
(недоступная ссылка)
-
Арнольд В. И.
Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. —
М.
: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. —
1500 экз.
—
ISBN 5-354-00341-5
.
-
Фоменко А. Т.
. —
М.
: Издательство МГУ, 1988. — 414 с.
(недоступная ссылка)