Interested Article - Симплектическое пространство

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой :

Симплектическая форма обычно обозначается . В отличие от формы скалярного произведения , для которой

,

для симплектической формы всегда

Связанные определения

  • Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим , если оно сохраняет симплектическую форму:
  • Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу , называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S) .
  • Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей .
  • Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим , если ограничение симплектической формы на s невырождено.
  • Два вектора называются косоортогональными , если
Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.
  • Косоортогональным дополнением подпространства называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из .

Каноническая структура

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны . Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор . В силу невырожденности существует такой вектор , что

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов и . Можно показать, что это будет (2 n -2)-мерное подпространство S , не пересекающееся c V , причём ограничение на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис

,

такой что

где символ Кронекера . Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу .

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

где единичная матрица порядка n . является симплектической матрицей.

Строение подпространств

Рассмотрим подпространство и его косоортогональное дополнение . В силу невырожденности :

Кроме того,

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

  • Симплектические : . Это верно тогда и только тогда, когда ограничение на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
  • Изотропные : . Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
.
  • Коизотропные : . W коизотропно тогда и только тогда, когда невырождена на факторпространстве . Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
  • Лагранжевы : . W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2 n образует многообразие , называемое . Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы по ортогональной подгруппе , при этом

Примеры

  • В комплексном пространстве можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле
где эрмитова форма . Эта форма задаёт симплектическую структуру на пространства .
  • Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве , где сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле
и продолжается на все остальные векторы по линейности.

См. также

Литература

  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. . — 2-ое изд.. — Ижевск: РХД, 2000. — 168 с. — ISBN 5-7029-0331-5 . (недоступная ссылка)
  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. ISBN 5-354-00341-5 .
  • Фоменко А. Т. . — М. : Издательство МГУ, 1988. — 414 с. (недоступная ссылка)
Источник —

Same as Симплектическое пространство