В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 5 ноября 2016 )

Содержимое этой статьи нуждается в чистке . Текст содержит много маловажных , неэнциклопедичных или устаревших подробностей. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей . ( 5 ноября 2016 )

Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа ${\displaystyle {\mathsf {T}}^{n}\to {\mathsf {T}}}$ , где ${\displaystyle {\mathsf {T}}=\{0,1,2\}}$ — троичное множество , а ${\displaystyle \ n}$ — неотрицательное целое число , которое называют арностью или местностью функции.

Элементы множества — цифровые знаки 0, 1 и 2 могут интерпретироваться как логические «ложь», «неизвестно» и «истина», в общем случае их смысл может быть любым. Элементы ${\displaystyle {\mathsf {T}}^{n}}$ называют троичными векторами . В случае n = 0 троичная функция превращается в троичную константу .

Каждая троичная функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех троичных векторах длины n . Число таких векторов равно 3 ⁿ . Поскольку на каждом векторе трёхзначная функция может принимать одно из трёх различных значений, то количество всех n -арных троичных функций равно 3 ^{(3 n )} (скобки нужны, так как запись 3 ^{3 n} не обладает свойством ассоциативности и 3 ^{(3 2 )} =3 ⁹ =19683, а (3 ³ ) ² =27 ² =729).

Например, существует 3 ^{(3 0 )} = 3 нульарных троичных логических функций — константы 0, 1 и 2; 3 ^{(3 1 )} = 27 унарных троичных логических функций, 3 ^{(3 2 )} = 19683 бинарных троичных логических функций и т. д.

Троичные логические функции (классификация)

Уровни привязки значений к трём состояниям троичных устройств

В некоторых троичных устройствах все три состояния одинаковы и ни логические ни арифметические значения не определены , не определено и направление сдвига, либо правое (по часовой стрелке), либо левое (против часовой стрелки), но на этом уровне уже можно закрепить одно из двух направлений вращения и уже отличать левое вращение от правого вращения.
На втором уровне за тремя состояниями могут быть закреплены три значения, но ещё без привязки арифметических значений, например, треугольник, квадрат и круг. На втором уровне становится возможным привязка логических значений («ложно», «не определено», «истинно»), например:
«треугольник» = «ложно»,
«квадрат» = «не определено»,
«круг» = «истинно»,
хотя в общем случае привязка может быть и другой.
На втором уровне логические значения арифметических значений не имеют.
На третьем уровне трём состояниям приписываются арифметические значения: 0, 1 и 2 или −1, 0 и +1. На третьем уровне логические значения условно имеют и арифметические значения. Наиболее часто встречается привязка арифметических значений не совместимая с обычной привязкой в двоичной логике:
«ложно» = −1,
«не определено» = 0,
«истинно» = +1,
хотя в общем случае привязка арифметических значений может быть и другой, например, привязка:
«ложно» = 0,
«не определено» = 2,
«истинно» = 1,
совместима с обычной привязкой в двоичной логике и соответствует левому вращению при обычной привязке последовательности арифметических значений (0,1,2).

В других троичных устройствах три состояния отличаются, например, по полярности напряжения, и не равнозначны . В этих устройствах очень сильна привязка к уровням напряжения и арифметических и логических значений:
«отрицательное напряжение» = «-1» = «-» = «ложно»,
«близкое к нулю напряжение» = «0» = «не определено»,
«положительное напряжение» = «+1» = «+» = «истинно»,
но и в этих устройствах возможны другие привязки.

Для работы с третьим логическим значением — «не определено» лучше подходят четверичная логика, восьмиричная логика и другие логики кратные 4, чем троичная логика.

Обозначения троичных функций

В общем случае, как в патентном деле, обозначение может быть любым, но необходимо указывать что обозначает каждый элемент в обозначении.
Единой системы обозначений троичных функций ещё не сложилось. Разные авторы применяют разные системы обозначений троичных функций. Пример различных обозначений унарных троичных функций разными авторами приведён в таблице 3 и в подразделе «Обозначения» там же.

При одновременной работе с троичными и двоичными функциями необходимо указывать троичность или двоичность. Это можно сделать буквами T (Ternary) и B (Binary). Например, FT — троичная функция, а FB — двоичная функция.

Так как функции могут иметь разное количество аргументов (арность), то необходимо указывать и арность функций. Например, F1T — унарная троичная функция, F2T — бинарная троичная функция, F3T — тринарная троичная функция.

Так как половина номеров разных троичных симметричных и троичных несимметричных функций совпадают, то нужно указывать симметричность или несимметричность номера функции. Это можно сделать буквами N (Nonsymmetric) и S (Symmetric). Например, F1TS — троичная унарная функция с симметричным номером, F1TN — троичная унарная функция с несимметричным номером, а F2T1BN — смешанная функция с двумя троичными аргументами, с одним двоичным аргументом и с несимметричным номером. Так как несимметричные функции существуют во всех функциях любой значности, а симметричные - только в нечётных, то в несимметричных функциях букву N можно не ставить.

После можно поставить номер функции. Например, F1T7 (F1TN7) — троичная унарная функция с несимметричным номером «7».

Так как некоторые разные номера в троичном и в десятичном виде совпадают, например, 22 троичное равно 8 десятичным, то после номера нужно ставить индекс обозначающий основание системы счисления. Например, F2B22 ₁₀ (F2BN22 ₁₀ ), F2TS22 ₃ , F2T22 ₁₀ (F2TN22 ₁₀ ) — это три разные функции.

Названия троичных функций

Как и в двоичной логике , троичная функция может не иметь собственного названия словами, тогда её называют по номерному обозначению, или одна и та же функция может иметь одно или несколько собственных названий словами, в зависимости от области применения.

Соответствия троичной несимметричной и троичной симметричной систем обозначений

В троичной симметричной системе обозначений арифметические значения −1, 0 и +1 очень сильно связаны с логическими обозначениями (−1, 0, +1) или (−, 0, +). Во втором обозначении 1 явно не присутствует, но неявно подразумевается.

В троичной несимметричной системе обозначений, кроме 0 и +1, арифметические значения −1, 0 и +1 менее сильно связаны с логическими обозначениями (0,1,2).

Из таблицы 4 следует, что:

F1TN0 = F1TS-13

…

F1TN13 = F1TS0

…

F1TN26 = F1TS+13

или

F1TS-13 = F1TN0

…

F1TS0 = F1TN13

…

F1TS+13 = F1TN26,

то есть трёхразрядные троичные номера унарных троичных функций с симметричным кодированием сдвинуты по отношению к номерам унарных троичных функций с несимметричным кодированием на ${\displaystyle -3^{2}-3^{1}-3^{0}\ =\ -9-3-1\ =\ -13_{10}.}$
Девятиразрядные троичные номера бинарных троичных функций с симметричным кодированием сдвинуты по отношению к номерам бинарных троичных функций с несимметричным кодированием на ${\displaystyle -3^{8}-3^{7}-3^{6}-3^{5}-3^{4}-3^{3}-3^{2}-3^{1}-3^{0}\ =}$ ${\displaystyle \ -6561-2187-729-243-81-27-9-3-1\ =\ -9841_{10}.}$

Троичное несимметричное кодирование удобнее в общетроичных применениях. Троичное симметричное кодирование удобнее при работе с троичными симметричными числами. Не зависимо от системы кодирования, сами функции выполняют с операндами (аргументами) одно и то же действие, даже с не упомянутыми выше системами кодирования.

Перевод троичных несимметричных чисел в троичные симметричные числа

Троичные несимметричные числа с кодировкой (-1,0,+1)=(0,1,2) относительно просто преобразуются в троичные симметричные числа с кодировкой (-1,0,+1)=(2,0,1) с помощью следующего алгоритма (Ошибка Депмана И. Я.: Для записи цифр в трёхзначных системах, в том числе и в числовых троичных системах, требуется три знака. В обозначениях Депмана третьим знаком является надчёркнутая единица — « 1 », но третьим знаком может быть и «2» и «i» и «7» и «N» и «n» и любой другой знак отличный от знаков «0» и «1».):
1. Начиная со младшего разряда троичного несимметричного числа с кодировкой (-1,0,+1)=(0,1,2):
2. Если число в текущем разряде больше 1 (2 или 3), то в следующий разряд прибавляется 1 (2 остаётся, но уже как обозначение −1); если число в текущем разряде равно 3, то текущий разряд устанавливается в 0.
3. Переход к следующему по старшинству разряду.
Для отрицательных троичных несимметричных чисел преобразование делают от модуля троичного несимметричного числа, а в результате, во всех разрядах, заменяют «1» на «2», а «2» на «1» с помощью троичной симметричной функции Swap12(X).

Нульарные троичные логические функции (операции, элементы)

Нульарные троичные логические операции (функции) с унарным выходом

Всего существуют ${\displaystyle \ 3^{(3^{0})}=3^{1}=3}$ простейшие нульарные троичные функции (троичные константы).
С кодированием в троичной не симметричной системе счисления:

С кодированием в троичной симметричной системе счисления:

Унарные троичные логические функции

Граф состояний в троичных функциях

Граф состояний двоичных функций - это два крайних значения отрезка в мире с одним измерением (в линии, на числовой оси), в простейшем случае единичной длины. Состояние функции определяется одной координатой (x).

Граф состояний троичных функций - это вершины треугольника в мире с двумя измерениями (в плоскости), в простейшем случае равностороннего. Состояние функции определяется двумя координатами (x и y) и только в случае вырожденного треугольника одной координатой (x) (преобразованием, отображением, проекцией на ось x).

Граф состояний четверичных функций - это вершины треугольной пирамиды ( тетраэдра ) в мире с тремя измерениями (в объёме), в простейшем случае с рёбрами единичной длины. Состояние функции определяется тремя координатами (x, y и z), в случае вырожденной пирамиды двумя координатами (x и y) (преобразованием, отображением, проекцией на плоскость x,y), а в случае дважды вырожденной пирамиды одной координатой (x) (преобразованием, отображением, проекцией на ось x).

Граф состояний пятиричных функций - это вершины пятивершинного многогранника в мире с четырьмя измерениями, в простейшем случае с рёбрами единичной длины. (Не представим в мире с тремя измерениями). Состояние функции определяется четырьмя координатами (x, y, z и u), в случае вырожденного пятивершинного многогранника тремя координатами (x, y и z) (преобразованием, отображением, проекцией в трёхмерное пространство x,y,z), в случае дважды вырожденного пятивершинного многогранника двумя координатами (x и y) (преобразованием, отображением, проекцией в двухмерное измерение x,y), а в случае трижды вырожденного пятивершинного многогранника одной координатой (x) (преобразованием, отображением, проекцией в одномерное измерение x).

...

Граф состояний n-ичных функций - это вершины n-вершинного многогранника в мире с n-1 измерениями, в простейшем случае с рёбрами единичной длины. (Не представим в мире с тремя измерениями). Состояние функции определяется n-1 координатами и на одну координату меньше с каждым вырождением.

...

Для четырёхзначной функции: у одной вершины тетраэдра три ребра 3=4-1=(n-1), у второй - тоже три ребра, но одно ребро общее для обеих вершин и к трём имеющимся переходам прибавится только (n-1)-1=3-1=2 перехода, и так до 1, т.е. 3+2+1=6 или 1+2+3=6.

Таким образом, количество переходов m в n-значной функции является функцией от значности и её значения можно посчитать по формуле:

${\displaystyle m=\sum _{n=1}^{n-1}n}$ ,

где ${\displaystyle n}$ — значность функции,

на TB :

N%=4
M%=0 
FOR I%=1 TO N%-1
  M%=M%+I%
NEXT I%
PRINT "M=";M%
END

Последовательность количества переходов m от значности n начиная с n=1 начинается так: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,...

Многие исследователи, в том числе и Фибоначчи и Лукасевич и Брусенцов , представляют троичные функции проекцией в линейный мир с одним измерением, тремя значениями на отрезке (вырожденным треугольником ), причём система {-1,0,+1} у Фибоначчи и у Брусенцова - симметричная относительно нуля, а система {0,1/2,1} у Лукасевича - несимметричная относительно нуля, но симметричная относительно 1/2. У Фибоначчи и у Брусенцова инверсия меняет знак значения без перемены абсолютной величины значения, а у Лукасевича инверсия меняет только величину значения без перемены знака значения. Поэтому переходы -1 <-> +1 в системе {-1,0,+1} правильнее называть инверсией Фибоначчи, а инверсией Лукасевича следует называть только переходы 0 <-> 1 в системе {0,1/2,1}.

При представлении значений троичной функции вершинами равностороннего треугольника вершины треугольника можно обозначить как {-1,0,+1}, так и {0,1/2,1}. Тогда такая система будет выполнять или инверсию Фибоначчи или инверсию Лукасевича.

Унарные троичные логические функции с унарным выходом

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*m}}$ простейших унарных (с одним входом, с одним аргументом, с одним операндом, одноместных) троичных функций, где m — число выходов, выходная арность функции. Для унарных (с одним входом) троичных функций с унарным выходом m=1 и их число равно ${\displaystyle 3^{(3^{1})*1}=3^{3}=27}$ .
Количество простейших унарных троичных функций равно числу размещений с повторениями ( выборок с возвращением) при k=n=3:

${\displaystyle {\bar {A}}(n,k)={\bar {A}}_{n}^{k}=n^{k}=3^{3}=27}$

Так как возможны более сложные функции, дающие при подаче на вход одного трита тот же результат, что и простейшие унарные троичные функции, то число более сложных троичных функций с нижеприведёнными результатами от одного трита теоретически бесконечно.
Таблица 1. Результаты действия простейших унарных троичных функций при последовательной подаче на вход трёх значений троичного разряда (трита): 0, 1 и 2.
В несимметричной троичной системе кодирования (-1,0,+1) = (0,1,2):
Таблица 3.

По таблице видно, что при последовательной подаче на вход функции значений от 0 до 2, на выходе функции образуется строка, например, «022» ₃ , которая является и номером функции и строкой её действия, то есть и номер функции и строка её действия содержатся в самой функции. Это свойство может оказаться полезным в случае невозможности чтения номера функции на корпусе микросхемы (стёрся, закрашен, не доступен).

По таблице видно, что выходные триты, после действия функций, в 21 случае из 27 теряют трёхзначность и в 18 случаях становятся двухзначными (переходниками в двоичную логику), а в 3 случаях становятся однозначными константами (переходниками к константам) (FT1N0, FT1N13 и FT1N26), и только в 6 случаях (три обмена, два вращения и повторитель) остаются трёхзначными (FT1N5, FT1N7, FT1N11, FT1N15, FT1N19 и FT1N21).

Все 27 унарных троичных операций (функций) выполняются троичным унарным с унарным выходом АЛУ (1Трит-1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе приведён на рисунке справа, и записываются в троичный триггер с соответствующей логикой управления.

Обозначения

Для обозначения унарных троичных функций достаточно любых трёх троичных знаков (3 ³ =27), 4/3 девятеричного знака (9 ^(4/3) =27) или одного двадцатисемеричного знака, следовательно, так как возможно бесконечное количество таких знаков, возможно бесконечное множество обозначений унарных троичных функций.

Цифровые обозначения могут быть постфиксными надстрочными, строчными и подстрочными и префиксными надстрочными, строчными и подстрочными, при этом для надстрочных и подстрочных обозначений нужно набирать пять знаков для открывающих и шесть знаков для закрывающих скобок, поэтому проще цифровые строчные обозначения с обычными скобками.

Grabb использует для обозначения шесть знаков: ∪, ∩, ↘, ↗, A, A , из которых 5 труднонабираемы на клавиатуре. Два шестеричных знака могут выразить до 6 ² =36 функций, тем не менее Grabb использует для обозначения −7, −3, 3 и 7 функций четыре знака, что относительно избыточно (6 ⁴ =1296).

Mouftah использует для обозначения 16 знаков: ¬, ¬ , ⌐, ⌐ , ┘, ┘ , └, └ , ⊼, ⊽, 0, +, (,), A, A , из которых 11 трудно набираемы на клавиатуре. Два шестнадцатеричных знака могут выразить до 11 ² =256 функций, тем не менее для −6 и −2 функций Mouftah использует 11 знаков, что относительно избыточно (16 ¹¹ =17592186044416).

Yoeli обозначает положительные декодеры −1, 0 и +1 с двумя и тремя трудно набираемыми на клавиатуре надстрочными индексами, при этом не описываются положительные декодеры с двумя 0, нулевые декодеры с двумя 1 и с двумя −1, отрицательные декодеры с двумя 0 и с двумя 1.

В симметричной троичной системе:
Таблица 4.

Знаки «i», « 1 », «7» и «2» обозначают «-1».
По таблице видно, что при симметричном кодировании, функции являются теми же самыми, что и при несимметричном кодировании, только номера функций смещены на −13, и при замене знаков (-1,0,+1) на знаки (0,1,2) получается таблица унарных троичных функций в несимметричной троичной системе с соответствием (-1,0,+1) = (0,1,2).
Если знак «i» заменить на знак «2», то номера функций будут отличаться от номеров функций в таблице с несимметричным кодированием только на «вращение на 1 вперёд» несимметричного номера, то есть на функцию FT1N7 (RotF) от несимметричного номера.
Соответственно, что бы получить номер функции в таблице с несимметричным кодированием, в номере с симметричным кодированием нужно заменить знак «i» на знак «2» и взять от каждого его разряда троичную функцию «вращение на 1 назад» (FT1N11, RotB).

Троичная логическая тождественная функция

Троичный логический повторитель. Является простейшей линией задержки .

Обмены и вращения

Отрицание (инверсия, переворот, обращение) Not (Inv) существует только в чётных логиках: двоичной, четверичной, шестеричной и т. д.
В троичной логике вместо отрицания (инверсии, переворота, обращения) Not (Inv) существует пять подобных функций: три обмена — Swap и два вращения — Rot, которые не являются точными подобиями отрицания (инверсии), но немного похожи на отрицание (инверсию).
В восьмиричной логике обмен двух значений на восьмиричной окружности изменяет только два значения из восьми и очень мало похож на двоичную инверсию. Четыре циклических сдвига же на 1 шаг (Rot) на восьмиричной окружности делают полную инверсию всех восьми значений. Таким образом, почти полным подобием двоичной инверсии Not (вращению на 180°) в восьмиричной логике являются 4 циклических сдвига на 1 шаг (на 45°) влево или вправо (RotateLeft и RotateRight). Так же и в троичной логике подобиями двоичной инверсии Not являются циклические сдвиги влево и вправо на 1 шаг (на 120°) (RotateLeft и RotateRight), а не обмены только двух значений из всех трёх (Swap), с той лишь разницей, что в троичной логике, из-за шага 120°, нет такого подобия двоичной инверсии Not, как в восьмиричной и в других чётных логиках.
Во времена, когда этого не знали, сложились ошибочные названия типа «инверсия Лукасевича», которая, на самом деле, является центральным из трёх обменов — Swap+1/-1 и менее подобна двоичной инверсии Not, чем циклические сдвиги на 1 шаг влево и вправо (вращения на 120° влево и вправо, RotateLeft и RotateRight).

Обмены в троичной логике

Обмены — , инвертирующие логическое состояние (делающие переход) по одному "ребру" графа.
В отличие от двоичной логики, в которой есть только один обмен Swap0/+1, совпадающий с инверсией (отрицанием) Not, в троичной логике существуют три обмена :
— FT1N19, FT1S+2, Swap0/+1 (обмен 0 и +1), («NOT-1»)
— FT1N15, FT1S-8, Swap+1/-1 (обмен +1 и −1), («NOT0», «NOTL» — «инверсия Лукасевича»)
— FT1N5, FT1S+6, Swap0/-1 (обмен 0 и −1), («NOT+1»)

Традиционный обмен Swap+1/-1 (называемый обращением или дополнением, неполным отрицанием), не влияющий на состояние «0» («неизвестно»), в некоторых статьях по троичной логике ошибочно называют «отрицанием Лукасевича » («инверсией Лукасевича») и обозначают как «~Lx» («NLx», «¬Lx», «x’L», «NOTL» или «NOT0»). Функция «инверсии (отрицания) Лукасевича» входит в логику Клини . Логика Лукасевича и логика Клини были ранними исследованиями троичных функций и не охватывали все троичные функции. Они являются усечёнными подмножествами общего множества простейших троичных функций.

Кроме традиционного обмена Swap+1/-1 («инверсия Лукасевича»), который сохраняет неизменным состояние 0 («неизвестно»), выделяют ещё две операции обмена, которые обозначают как Swap0/+1 («NOT-1») и Swap0/-1 («NOT+1»). Первый сохраняет неизменным состояние −1 («ложь»), а второй сохраняет +1 («истина»):
Таблица 5. (По этой таблице определяются номера Swap’ов в троичной симметричной системе кодирования.)

В троичной несимметричной системе кодирования возможны шесть соответствий троичной симметричной системе кодирования, но наиболее значимыми являются только два соответствия из шести: с заменой знака «-1» на «2» без циклического сдвига вперёд (вверх, вправо) на +1 (-1,0,+1)=(2,0,1) и с циклическим сдвигом вперёд (вверх, вправо) на +1 (-1,0,+1)=(0,1,2).
Эта же таблица, но с обозначениями (-1,0,+1)=(2,0,1) и с перебором значений аргумента: 2, 0, 1):

Эта же таблица в троичной несимметричной системе кодирования без сдвига, а только с заменой знака «-1» на «2» (-1,0,+1)=(2,0,1), но с перебором значений аргумента: 0, 1, 2 (по этой таблице определяются номера функций в троичной несимметричной системе кодирования) (в этой таблице «инверсия Лукасевича» уже является обменом двух старших значений, а не двух крайних значений, как в предыдущих таблицах, так же и две других функции обмена, но, для лучшего различения функций обмена лучше оставить названия их действий в троичной симметричной системе кодирования):

В таблице же в троичной несимметричной системе кодирования со сдвигом на RotR(X) (-1,0,+1)=(0,1,2), те же функции в таблице оказываются циклически сдвинутыми на одну строку, то есть «инверсией Лукасевича» уже является не FT1N15 (Swap12), а FT1N5 (Swap02), так же сдвинуты и две другие функции Swap:

Граф операции Swap0/+1 («NOT-1») — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к +1 и обратно.
Граф переходов в операции Swap+1/-1 («инверсии Лукасевича») — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от +1 к −1 и обратно. Граф операции Swap0/-1 («NOT+1») — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к −1 и обратно.
Все три операции линейные, одномерные, из линии в плоскость не выходят.

Закон двойного обмена справедлив для всех многозначных логик.
Для всех трёх обменов, как и для Swap0/+1(Swap01(X)) = X в двоичной логике , справедливы уравнения:

Swap0/+1(Swap0/+1(X)) = X
Swap+1/-1(Swap+1/-1(X)) = X
Swap0/-1(Swap0/-1(X)) = X

Вращения

Вращения и инверсии

В двоичной логике вращение, отрицание, обращение, инверсия и негация совпадают и выражаются одной операцией вращения на 180° — этаким «5 в 1» NOT(X).
Точное подобие двоичной функции NOT(X) существует только в чётных многозначных логиках: четверичной, шестеричной, восьмиричной и т. д.
В троичной и более значных логиках вращения, отрицания, обращения, инверсии и негации являются разными функциями и не совпадают.
Вместо вращения на 180° (Not) в двоичной логике, в троичной логике существуют два вращения на 120°: RotLeft (-120°) и RotRight (+120°).
Так как электромеханические (реле) и электронные устройства (транзисторные каскады) переворачивают фазу на 180°, то они очень хорошо подошли для устройств двоичной логики. В троичной же логике нужны устройства поворачивающие фазу на 120°. Такие устройства относительно просто выполняются в механическом виде, но более сложно выполняются в электронном виде. Одним из решений этой задачи являются устройства выполненные в трёхбитной (3Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT) системе троичных логических элементов .

В многозначных логиках

В двоичной логике существует закон двойного вращения на 1 шаг (180°) в одном направлении (двойного отрицания):

Not(Not(x)) = x
Rot(Rot(x)) = x

Направление вращения не различается. Из-за шага вращения 180° происходит занятие прямо противоположного положения на окружности (отрицание, обращение, инверсия и негация), поэтому функции Rot(x) (вращение), Not(x) (отрицание), Inv(x) (переворот) и Neg(x) совпадают.

В троичной логике существует закон тройного вращения на 1 шаг (120°) (циклического сдвига на 1 шаг) в одном направлении:

RotF(RotF(RotF(x))) = x
RotB(RotB(RotB(x))) = x

направление вращения различается, но занятия прямо противоположного положения на окружности (отрицания), из-за шага вращения 120°, не происходит, поэтому название Swap (обмен) для трёх известных троичных функций более точно, чем Not (отрицание) и Inv (переворот).

В четверичной логике существует закон четверного вращения на 1 шаг (90°) (циклического сдвига на 1 шаг) в одном направлении:

RotF(RotF(RotF(RotF(x)))) = x
RotB(RotB(RotB(RotB(x)))) = x

Направление вращения различается. Из-за шага вращения 90° возможно занятие прямо противоположного положения на окружности (Not (отрицание) и Inv (переворот)), но отрицание (Not) одно, а не три.

В пятиричной логике существует закон пятерного вращения на 1 шаг (72°) (циклического сдвига на 1 шаг) в одном направлении:

RotF(RotF(RotF(RotF(RotF(x))))) = x
RotB(RotB(RotB(RotB(RotB(x))))) = x

Направление вращения различается. Из-за шага вращения 72° занятие прямо противоположного положения на окружности (отрицание (Not) и переворот (Inv)) невозможны. …

В N-ичной логике существует закон N-го вращения на 1 шаг:

N вращений на 1 шаг в одном направлении равносильны повторению (утверждению).

В (N+1)-ичной логике существует закон (N+1)-го вращения:

(N+1) вращений на 1 шаг в одном направлении равносильны повторению (утверждению).

…

Обобщение:
В N-ичной плоской логике плоская логическая окружность делится на N частей, при этом N единичных вращений (вращений на 1 шаг (циклических сдвигов на 1 шаг)) в одном направлении по плоской логической окружности приводят в исходную точку.

Отрицания (Not) и инверсии (Inv) существуют только в чётных многозначных логиках.

В объёмных логиках место окружности занимают многомерные (в простейшем случае трёхмерные) сферы.

Вращения в троичной логике

Вращения (циклические сдвиги, отрицания, инверсии, обмены) вперёд и назад (вращение вверх и вращение вниз) .

Если рассмотреть многовершинные графы , то в них возможны вращение на 1 шаг вперёд (циклический сдвиг на 1 вперёд), вращение на 1 шаг назад (циклический сдвиг на 1 назад) и инверсии (перевороты).

Вращения не являются инверсиями и отличаются от функции обмена — Swap+1/-1 («инверсии (отрицания) Лукасевича ») и от двух операций обмена — Swap0/+1 («инверсия NOT−1») и Swap0/-1 («инверсия NOT+1»). Они более просты и более полно описывают возможные переходы. В проекте Стива Грабба эти функции называются вращение вверх (RotU) и вращение вниз (RotD), кроме этого, их ещё называют вращением вперёд RotF и вращением назад RotB и вращением влево RotLeft и вращением вправо RotRight.

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0+1)=( 1 ,0,+1):

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):

Для обеих функций справедливы уравнения:
RotF(RotF(RotF(x))) = x
RotB(RotB(RotB(x))) = x
которые являются законом тройного вращения:
три троичных вращения равносильны утверждению,
который является подобием закона двойного вращения в двоичной логике.

Только в троичной логике вращение на 2 шага вправо равно вращению на 1 шаг влево:
RotF(x) = RotB(RotB(x))
RotB(x) = RotF(RotF(x))

Следующие уравнения справедливы и в более, чем трёхзначной логиках:
Rot1B(Rot1F(x)) = x
Rot1F(Rot1B(x)) = x

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным результатом (выходом)

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*2}=3^{6}=729}$ простейших унарных троичных функций с бинарным выходом.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с бинарным (двухразрядным) (результатом) выходом.

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с тринарным результатом (выходом)

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*3}=3^{9}=19\ 683}$ простейших унарных троичных функций с тринарным выходом.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с тринарным (трёхразрядным) результатом (выходом).

Троичный дешифратор «1 трит в 3 строки»

Можно рассматривать как объединение трёх унарных троичных функций с унарными результатами из таблицы 1.

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с m-арными выходами

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*m}}$ простейших унарных троичных функций с m-арным выходом, то есть бесконечное число.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с m-арным (m-разрядным) результатом (выходом).

Бинарные троичные логические функции (операции, элементы)

Бинарные троичные логические функции с унарным результатом

Всего возможно ${\displaystyle 3^{(3^{2})}=3^{9}=19\ 683}$ простейших бинарных (двуместных, двухоперандных, двухаргументных, двухвходовых) троичных функций с унарным выходом, некоторые из них приведены в таблице:

Таблица некоторых бинарных троичных функций с унарным выходом с несимметричным кодированием

Таблица 5.

Таблица некоторых бинарных троичных функций с унарным выходом с симметричным кодированием

Таблица 6.

«i», « 1 », «7» или «2» означают «-1»

Все 19 683 простейшие троичные бинарные функции выполняются троичным АЛУ (2Трита в 1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе приведён на рисунке.

Троичная эмуляция двоичной 2ИЛИ-НЕ ( стрелки Пирса )

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  0  0  0 
- 1  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичного сложения по модулю 2, XOR

Троичная эмуляция двоичной функции «бинарное сложение по модулю 2», XOR.
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  0  0 
- 0  1  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной 2И-НЕ ( штриха Шеффера )

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2И-НЕ (штриха Шеффера).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  0  0 
- 1  1  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной 2И, min(x, y)

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2-in AND, 2И, min(x, y).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  0  1  0 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной прямой (материальной) импликации, x <= y

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции «прямая (материальная) импликация», x <= y.
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  1  0 
- 1  0  0 -> x
  |

На диаграмме хорошо видна несимметричность функции.
В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной 2ИЛИ, max(x, y)

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2-in OR, 2ИЛИ, max(x, y).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  1  0 
- 0  1  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Больше

Результат по сути является двоичным.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
Истинно=1, ложно= 1 .
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность функции по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной симметричной системе счисления с обозначениями (-1,0,+1)=(2,0,1):
Истинно=1, ложно=2 (-1).
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  2  2  2
- 2  2  1 -> x
  2  1  1 
     |

В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе счисления с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  0  0  2 
- 0  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Больше либо равно

Результат по сути является двоичным.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=( 1 ,0,1):
Истинно=1, ложно= 1 .
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначеениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  2
  0  2  2 
- 2  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Меньше

Результат по сути является двоичным.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
Истинно=1, ложно= 1 .
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  2  2  0
  2  0  0 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Меньше либо равно

Результат по сути является двоичным. В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
Результат по сути является двоичным.
Истинно=1, ложно= 1 .
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  2  2  2
  2  2  0 
- 2  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Равно

Вычисляется eqv(x, y); x eqv y.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
Результат по сути является двоичным.
Истинно — 1, ложно — 1 .
В виде двухмерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1
     | 

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
При обозначениях результата: истинно=2, ложно=0.
В виде двухмерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  2
  0  2  0
- 2  0  0 -> x
  | 

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&2\\1&0&2&0\\0&2&0&0\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Троичная функция отношения

Троичный компаратор с унарным троичным выходом.
Magnitude Function по Стиву Граббу
С однозначным результатом
Определяет отношения тритов в разрядах.
Кроме равенства Лукасевича, которое имеет двоичный результат и подобно двоичному равенству, в общей троичной логике появляются троичные функции отношения, которые сразу определяют три возможных отношения операндов — меньше, равно или больше. Так как в двоичной логике результат может принимать только два значения, то в двоичной логике таких функций нет.
Результат изменяется при перемене мест операндов.
В зависимости от порядка следования отношений в результате, может быть несколько разновидностей этой функции. Например (<,=,>), (>,=,<) и экзотические (<,>,=), (>,<,=), (=,<,>) и др.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
С обозначениями результата (x<y,x=y,x>y) = (<,=,>) = ( 1 ,0,1).
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  0
- 1  0  1 -> x
  0  1  1
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
С обозначениями результата (x<y,x=y,x>y) = (<,=,>) = (0,1,2).
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  1
  0  1  2 
- 1  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичный компаратор с тринарным двоичным выходом

Сравнивает поразрядно триты двух чисел и имеет тринарный двоичный выход: меньше, равно, больше. Является объединением трёх предыдущих отдельных троичных бинарных функций.
Результат изменяется при перемене мест операндов.
true=2, false=0

Минимум (наименьшее)

Вычисляется min( x , y ).
В двоичной логике функции min(x, y) соответствует конъюнкция : x ∧ y, x И y, 2И.
Входит в логику Клини .
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 1  0  0 -> x
  1  1  1
     |

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  1  2
  0  1  1 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Максимум (наибольшее)

Вычисляется max( x , y ).
В двоичной логике функции max(x, y) соответствует дизъюнкция : x ∨ y, x ИЛИ y, 2ИЛИ(x, y).
Входит в логику Клини .
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

      y
      ^
      |
   1  1  1
-  0  0  1 -> x
   1  0  1
      | 

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  2  2  2
  1  1  2 
- 0  1  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&2&2\\1&1&1&2\\0&0&1&2\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Сложение по модулю 3 в несимметричной и в симметричной троичных системах счисления

Вычисляется сумма по модулю 3: x MOD3 y, MOD3(x, y,), x XMAX y, XMAX(x,y).
Исключающий MAX. Аналог сложения по модулю 2 . Название «исключающее ИЛИ» («XOR»), применяемое для «двоичного сложения по модулю 2», для «троичного сложения по модулю 3» неприемлемо, то есть оказалось поверхностным, не глубоким.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  0
- 0  1  1 -> x
  1  0  1 
     | 

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  2  0  1
  1  2  0
- 0  1  2 -> x
  | 

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&0&1\\1&1&2&0\\0&0&1&2\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Сложение по модулю три напоминает двоичный XOR. Это обычное сложение, только без переноса: в случае переполнения разрядной сетки оно сохраняет лишь младший троичный разряд. Как и двоичный XOR, сложение по модулю три либо оставляет троичный разряд неизменным, либо изменяет его (производит операции RotF/RotB, в зависимости от знака соответствующего троичного разряда).

Эта функция может быть полезна для реализации троичных несимметричных полусумматора и сумматора .

Разряд переноса при бинарном (двухаргументном, двухоперандном) сложении в троичной несимметричной системе счисления

То есть разряд переноса при троичном несимметричном сложении в троичном несимметричном полусумматоре .
В троичной симметричной системе кодирования обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  0  0
- 1  1  0 -> x 
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  1  1
  0  0  1 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&1&1\\1&0&0&1\\0&0&0&0\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Младший разряд результата в троичном симметричном сложении

То есть младший разряд в троичном симметричном полусумматоре .
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  0  1  1
- 1  0  1 -> x
  1  1  0
     |

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  1  2  0
  0  1  2 
- 2  0  1 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Трит переноса при бинарном (двухаргументном, двухоперандном) сложении при троичном симметричном сложении

То есть трит переноса в троичном симметричном полусумматоре .
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  0  0  1
- 0  0  0 -> x
  1  0  0
     |

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  1  1  2
  1  1  1 
- 0  1  1 -> x
  |

Троичное умножение

В троичной несимметричной системе (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде таблицы истинности:

Перенос возникает в одном случае из девяти.

В виде двух двумерных (двухаргументных, двухкоординатных) диаграмм:

FT2N11502        FT2N6561
  y                y   
  ^                ^   
  |                | 
  0  2  1          0  0  1
  0  1  2          0  0  0 
- 0  0  0 -> x   - 0  0  0 -> x
  |                |      

В троичной симметричной системе (-1,0,+1)=(2,0,1):
В виде таблицы истинности:

Перенос не возникает вовсе.

В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  FT2N8038
     y
     ^
     |
  2  0  1
- 0  0  0 -> x
  1  0  2 
     |

Импликации

Импликация (от лат. implicatio — сплетение, implico — тесно связываю) — логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если …, то …», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказывание, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) — высказывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в научных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путём ссылки на нечто другое. В современной логике имеется большое число импликаций, различающихся своими формальными свойствами:

• Троичная функция следования Брусенцова
• импликация материальная
• импликация Гейтинга
• импликация Лукасевича

Троичная функция следования Брусенцова

Вычисляется ${\displaystyle x\rightarrow y}$ :
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 0  0  0 -> x
  1  0  0
     |

На двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграмме хорошо видно, что Функция несимметрична, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется.

В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = (0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  1  2
  1  1  1 
- 2  1  1 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Импликация материальная

Материальная импликация — одна из основных связок классической логики. Определяется она таким образом: импликация ложна только в случае истинности основания (антецедента) и ложности следствия (консеквента), а истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «если x, то y» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чём говорится в x и y; выражение «x материально имплицирует y» такой связи не предполагает.

Вычисляется материальная импликация: max(x,-y); ${\displaystyle x\rightarrow y}$ ; x ∨ -y.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = ( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 0  0  1 -> x
  1  1  1
     |

На двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграмме хорошо видно, что функция несимметрична по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется, но симметрична по отношению к обратной (с наклоном влево) диагонали.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями {-1,0,+1} = {0,1,2}:
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  1  2
  1  1  2 
- 2  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Импликация Гейтинга

Это часть многозначной логики . охватывала лишь часть классической формальной логики .
Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически даёт построение q. Например, из истинности высказывания p следует «неверно, что p ложно». Но из утверждения «неверно, что p ложно» ещё не следует, что p — истинно, так как высказывание p может оказаться неконструктивным.

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = ( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1
     |

Функция несимметрична по отношению к главной диагонали, что хорошо видно на двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграмме, то есть при перемене мест операндов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = (0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  1  2
  0  2  2 
- 2  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Импликация Лукасевича

Это часть модальной логики .

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = ( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 0  1  1 -> x
  1  1  1
     |

Функция не симметрична по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, что хорошо видно на двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграмме, то есть при перемене мест аргументов результат изменяется, но симметрична по отношению к обратной (с наклоном влево) диагонали.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = (0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  1  2
  1  2  2 
- 2  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Сложение по модулю 3 при одном неполном слагаемом

Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  1  2  0 
- 0  1  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы:
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2&0\\0&0&1&2\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Разряд переноса при сложении с неполным слагаемым

Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  1 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы:
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Троичные подобия двоичной функции Вебба

В троичной логике двоичной функции max(x, y) (OR, V) соответствует троичная функция max(x, y), которая уже не является функцией OR (V).
Так как вращению на 180° — Rot (перевороту, отрицанию, инверсии, негации) (Rot, Not, Inv, Neg) в двоичной логике в троичной логике соответствуют три функции обмена — Swap и две функции вращения — Rot, то в троичной логике существуют пять троичных подобий двоичной функции Вебба равной Not(max(x, y)).

Троичное подобие двоичной функции Вебба со Swap0/+1

Вычисляется: троичное подобие двоичной функции Webb со Swap0/+1 = Swap0/+1(max(x, y)).

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  0  0  0
- 1  1  0 -> x
  1  1  0  
     | 

На диаграмме хорошо видно, что функция симметрична по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  1  1  1
  2  2  1
- 0  2  1 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&1\\1&2&2&1\\0&0&2&1\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Троичное подобие двоичной функции Вебба со Swap+1/-1

Вычисляется: троичное подобие двоичной функции Webb со Swap+1/-1 = Swap+1/-1(max(x, y)).

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 0  0  1 -> x
  1  0  1  
     | 

На диаграмме хорошо видно, что функция симметрична по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  1  0
- 2  1  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&0\\1&1&1&0\\0&2&1&0\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Троичное подобие двоичной функции Вебба со Swap0/-1

Вычисляется: троичное подобие двоичной функции Webb со Swap0/-1 = Swap0/-1(max(x, y)).

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  0  1  1
     | 

На диаграмме хорошо видно, что функция симметрична по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  2  2  2
  0  0  2
- 1  0  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&2&2\\1&0&0&2\\0&1&0&2\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Троичное подобие двоичной функции Вебба с RotF

Вычисляется: троичное подобие двоичной функции Webb с RotF = RotF(max(x, y)).

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  0  1  1
     | 

На диаграмме хорошо видно, что функция симметрична по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  2  2  0
- 1  2  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&0\\1&2&2&0\\0&1&2&0\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

В двоичной логике функция Вебба обозначается стрелкой Пирса (↓) и определяется, как антидизъюнкция Webb(x, y) = x ↓ y = Not(x OR y) = Not(max(x, y)).
Автор же статьи «Сведения по трёхзначной логике» обозначает троичное подобие двоичной функции Вебба штрихом Шеффера, которым в двоичной логике обозначают антиконъюнкцию, которая равна Sheff(x, y) = x | y = Not(x AND y) = Not(min(x, y)).
Автор статьи даёт определение трёхзначной функции Вебба, как Webb(a, b) = a | b = mod3(max(a, b) + 1)) (7) = RotF(max(a, b)), хотя в двоичной логике функцию Вебба обозначают стрелкой Пирса, а не штрихом Шеффера, а при обозначении штрихом Шеффера двоичная функция явяляется антиконъюнкцией, а не функцией Вебба (антидизъюнкцией), и равна Not(min(a, b)) = Not(a AND b), а не Not(max(a, b)) = Not(a OR b), но в первой части функции автор вычисляет max(a, b), то есть вместо стрелки Пирса (↓) поставил штрих Шеффера (|), но вычислял a OR b = max(a, b), а не a AND b = min(a, b). Во второй части функции автор мудрёным способом вычисляет одно из пяти троичных подобий двоичной инверсии (отрицания, негации) — RotF и почему то считает функцию FT2N223 единственной представительницей троичных подобий функции Вебба из пяти троичных подобий двоичной функции Вебба, хотя функция FT2N113(x, y) = Swap2/0(max(x, y)) более веббистая, чем FT2N223.

Троичное подобие двоичной функции Вебба с RotB

Вычисляется: троичное подобие двоичной функции Webb с RotB = RotB(max(x, y)).

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=( 1 ,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  0  0  1
- 1  1  0 -> x
  1  1  0  
     | 

На диаграмме хорошо видно, что функция симметрична по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, то есть при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  1  1  0
  0  0  1
- 2  0  1 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&0\\1&0&0&1\\0&2&0&1\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Рассуждения на тему функции Вебба

Функция Вебба интересна тем, что с помощью неё, подобно штриху Шеффера и стрелке Пирса в двухзначной логике, можно выразить любые трёхзначные функции:

Одноместные:

• RotF(X) = X | X

/* Результат двухместной (двухоперандной) операции может быть равен результату 
одноместной (одноаргументной) функции, но из этого не следует равенства самой 
одноместной функции и двухместной (двухоперандной) операции. 
RotF(X) и RotB(X) - функции одноместные (одноаргументные), а троичное подобие 
двоичной двухместной (двухаргументной,  двухоперандной) функции Вебба или 
оператора Вебба должно быть, как и в двоичной логике двухместным (двухаргументным,  
двухоперандным).  
Вообще же, для того, что хотят выразить с помощью троичной логики, лучше
подходит четверичная или восмиричная логики, у троичной же логики другое
назначение. */ 

• RotB(X) = RotF(RotF(X),RotF(X)) = (X | X) | (X | X)

/* RotF(X) - функция одноместная (одноаргументная, однооперандная), автор 
же использует её, как двухместную (двухаргументную, двухоперандную). */

• NOT(X) = (RotB(X) | RotF(X) | RotF(RotB(X) | X))

/* Двоичная операция 2И-НЕ (штрих Шеффера - "|") невозможна с троичными операндами RotB и
RotF. Определения же троичного подобия двоичной функции 2И-НЕ (штриху Шеффера - "|") автор не дал. */

Двухместные:

• X ∨ Y = RotB(X | Y)

/* Прежде, чем брать функцию RotB() нужно дать определение троичного подобия
двоичной функции 2И-НЕ (штриху Шеффера). */ 

• X ∧ Y = Not(Not(X) ∨ Not(Y))

/* Прежде, чем брать двоичную функцию Not() от подразумеваемого троичного результата нужно 
дать определение троичного подобия двоичной функции 2ИЛИ-НЕ (стрелке Пирса) или дать определение троичному подобию двоичной функции Not(). */

Вполне возможно, что именно логическим элементам, реализующим функцию Вебба, придётся сыграть роль троичных ЛА3’их (ИС SN7400, 4 логических элемента 2И-НЕ ). И от качества реализации этой функции, количества транзисторов, будет зависеть эффективность будущих троичных процессоров.

/* В троичной трёхуровневой системе троичных логических элементов (3-Level LevelCodedTernaty, 
3L LCT) при переходах из состояния +1 в состояние -1 и наоборот потенциал (напряжение)
проходит через состояние 0, что неизбежно приводит к ложным срабатываниям и низкому 
качеству реализации троичных функций. 
В троичной двухуровневой трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов 
(2-Level 3-Bit BinaryCodedTernary UnoUnary, 2L 3B BCT UU, 2L 3B BCT, 3B BCT) в каждой  
отдельной линии фаза переворачивается на ±180° и физических поворотов фазы на +120° и 
-120° нет, но все три состояния логически распознаются и эта система может быть 
логическим подобием троичной системы с поворотами на +120° и -120°. При любых переходах 
перехода через третье состояние не происходит, что повышает качество реализации троичных 
функций.*/

Впрочем, функция RotB(X ∨ Y) (а возможно, что и RotF(X ∧ Y), RotB(X ∧ Y) ничем не хуже. Вопрос лишь в том, какую из них мы сможем реализовать наиболее эффективно.

/* Чтобы сделать троичное подобие двоичного поворота на ±180° (Not(X)), автор из 
пяти троичных подобий двоичного Not(X) выбрал только поворот на -120° (RotB()),  
который более подобен двоичному повороту на ±180° (Not), чем неполные обмены только 
двух значений из трёх (Swap'ы), но поворот на +120° (RotF()) не хуже поворота на -120°  
(RotB()), о чём и пишет автор. */

Бинарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным выходом

Всего возможно ${\displaystyle 3^{(3^{2})*2}=3^{18}=387\ 420\ 489}$ простейших бинарных с бинарным выходом троичных функций (2Трита-2Трита).

Все 387 420 489 простейших троичных бинарных с бинарным выходом функций выполняются АЛУ в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, приведённым на рисунке справа.

Троичный полусумматор с одним неполным слагаемым

Первая ступень трёхступенчатого полного троичного сумматора.
Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде таблицы исстинности:

Результат операции занимает 1 и 2/3 троичных разряда.

Бинарное сложение в несимметричной троичной системе счисления (троичный полусумматор )

Бинарное (двухаргументное, двухоперандное) сложение в троичной несимметричной системе счисления , то есть троичный несимметричный полусумматор .

Троичный полусумматор можно рассматривать, как объединение двух бинарных (двухаргументных, двухоперандных) троичных функций: «сложение по модулю 3 в троичной несимметричной системе счисления» и «разряд переноса при сложении в троичной несимметричной системе счисления».
Так как при сложении в троичной несимметричной системе в разряде переноса не бывает значения больше единицы, то, в отличие от предыдущих бинарных троичных функций с одноразрядным результатом, бинарный результат функции занимает 1 и 1/3 троичных разрядов.
Результат не изменяется при перемене мест аргументов.

или в виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&02&10&11\\1&01&02&10\\0&00&01&02\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Бинарное сложение-вычитание в троичной симметричной системе счисления Фибоначчи

Троичный полусумматор -полувычитатель.

Троичное логическое сложение-вычитание двух троичных разрядов с разрядом переноса в троичной симметричной системе счисления .

Результат не изменяется при перемене мест операндов.

Троичный полусумматор-полувычитатель можно рассматривать, как объединение двух бинарных (двухаргументных, двухоперандных) троичных функций: «младший разряд суммы при сложении-вычитании в троичной симметричной системе счисления» и «разряд переноса при бинарном (двухаргументном, двухоперандном) сложении-вычитании в троичной симметричной системе счисления».

В отличие от сложения и вычитания в троичной несимметричной системе счисления, результат функции занимает 2 полных троичных разряда (трита), так как при сложении-вычитании в троичной симметричной системе в разряде переноса бывают все три значения трита.

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (−1, 0, +1) = (i, 0, 1):
В виде двух двухаргументных (двухоперандных, двухкоординатных) диаграмм:

  FT2S-4160       FT2S6560   
     y               y
     ^               ^
     |               |    
  0  1  1         0  0  1 
- 1  0  1 -> x  - 0  0  0 -> x
  1  1  0         1  0  0
     |               | 

В виде одной двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграммы:

      y
      ^
      |
  00  01  11
- 01  00  01 -> x
  11  01  00
      |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&00&01&1i\\0&0i&00&01\\i&i1&0i&00\\&i&0&1\end{pmatrix}}}$
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = (2,0,1):
В виде двух двухаргументных (двухоперандных, двухкоординатных) диаграмм:

  FT2N15613       FT2N6563
     y               y     
     ^               ^
     |               | 
  0  1  2         0  0  1 
- 2  0  1 -> x  - 0  0  0 -> x
  1  2  0         2  0  0
     |               |    

В виде одной двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграммы:

      y
      ^
      |
  00  01  12
- 02  00  01 -> x
  21  02  00
      |

В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = (0,1,2):
В виде двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграммы:

      y
      ^
      |
  11  12  20
- 10  11  12 -> x
  02  10  11
      |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&11&12&20\\1&10&11&12\\0&02&10&11\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Бинарные троичные логические функции с нонарным результатом (выходом)

Всего возможно ${\displaystyle 3^{(3^{2})*9}=3^{81}}$ ≈ ${\displaystyle \ 4,43*10^{38}}$ простейших бинарных троичных функций с нонарным результатом (выходом).

Троичный дешифратор «2 трита в 9 строк»

Результат изменяется при перемене мест операндов.
Можно рассматривать как объединение девяти бинарных троичных функций с унарными результатами.